Trova la derivata superiore e la derivata inferiore$\overline{D}\mu$e$\underline{D}\mu$.

Question

Ecco un esercizio della teoria della misura di Cohn che non credo di aver fatto correttamente:

Permettere$I$essere il segmento di linea in$\mathbb{R}^2$che unisce i punti$(0,0)$e$(1,1)$. Definire una misura di Borel finita$\mu$Su$\mathbb{R}^2$lasciando$\mu(A)$essere la misura di Lebesgue unidimensionale di$A \cap I$. (Più precisamente, let$T$sia la mappa dell'intervallo$[0, \sqrt{2}]$su$I$dato da$T(t) = (t/\sqrt{2})(1,1)$, e definire$\mu$di$\mu(A) = \lambda(T^{-1}(A)).)$Trova la derivata superiore e la derivata inferiore$\overline{D}\mu$e$\underline{D}\mu$.

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Bene, scriviamo prima queste definizioni:$$(\overline{D}\mu)(x) = \limsup_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\}$$e$$(\underline{D}\mu)(x) = \liminf_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\},$$dove$\mathscr{C}$è la famiglia dei quadrati chiusi non degeneri in$\mathbb{R}^2$(con lati paralleli agli assi coordinati) e$e(C)$è la lunghezza del bordo di$C \in \mathscr{C}$(e presumo che, qui,$\lambda$è la misura di Lebesgue$\mathbb{R}^2$, nonostante l'uso della stessa notazione per la misura di Lebesgue on$\mathbb{R}$).

Chiaramente, se$x \notin I$poi$(\overline{D}\mu)(x) = 0 = (\underline{D}\mu)(x)$.

Se$x \in I$poi, per ciascuno$C \in \mathscr{C}$tale che$x \in C$, lo abbiamo$$\frac{\mu(C)}{\lambda(C)} = \frac{\lambda(T^{-1}(C))}{\lambda(C)} = \frac{\sqrt{2}e(C)}{(e(C))^2} = \frac{\sqrt{2}}{e(C)}. $$Quindi, per un fisso$x \in I$e per ciascuno$\epsilon >0$, definiremo l'insieme$E_\epsilon$come segue:$$ E_\epsilon = \left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\} = \left\{ \frac{\sqrt{2}}{e(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\}. $$Da$e(C) < \epsilon$, per ciascuno$\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$, ne consegue che$$\frac{1}{\epsilon} < \frac{\sqrt{2}}{e(C)}, $$per ciascuno$\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$; e da allora$e(C)$può essere reso arbitrariamente piccolo, ne consegue che$$ \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\} = \infty. $$Quindi la funzione$f(\epsilon) = \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\}$chiaramente tende a$\infty$come$\epsilon \to 0$. Immagino?)$(\overline{D}\mu)(x) = \infty$Se$x \in I$e$(\overline{D}\mu)(x) = 0$Se$x \notin I$... che non sembra giusto.

Allo stesso modo, la funzione$g(\epsilon) = \inf\{E_\epsilon : \epsilon > 0\}$è delimitato dal basso da$1/\epsilon$, e$1/\epsilon$aumenta senza limiti as$\epsilon \to 0$. Così,$g(\epsilon) \to \infty$come$\epsilon \to 0$, anche. Così$\overline{D}\mu = \underline{D}\mu$. Ripeto, non mi sembra giusto...

Answer 1

Penso che il tuo approccio sia corretto. Ecco il mio modo di farlo. Salterò alcuni passaggi per alcuni dettagli.

Innanzitutto, estendo le definizioni:

$$(\overline{D}\mu)(x,y)=\overline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$

Allo stesso modo,

$$(\underline{D}\mu)(x,y)=\underline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$

Caso 1: Se$(x,y)\notin I$, possiamo scegliere$r>0$sufficientemente piccolo tale che$\overline{B_r(x,y)}\cap I=\emptyset$. Il motivo è perché$I$è chiuso, quindi il suo complementare è aperto$\mathbb{R}^2$. Quindi per sufficientemente piccolo$r>0$,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{0}{\pi r^2}=0$$il che implica$(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=0$.

Caso 2: Se$(x,y)\in I$, poi$x=y$. Supponiamo che$(x,x)\neq(0,0)\neq(1,1)$. Per sufficientemente piccolo$r>0$,$\overline{B_r(x,y)}\cap I$fa parte del segmento di linea$I$, di lunghezza$2r$. Perciò,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{2r}{\pi r^2}=+\infty$$il che implica$(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=+\infty$.

Caso 3: quando$(x,x)=(0,0)$o$(1,1)$, per sufficientemente piccolo$r>0$,$\overline{B_r(x,y)}\cap I$fa parte del segmento di linea$I$, di lunghezza$r$. Perciò,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{r}{\pi r^2}=+\infty$$

Il risultato è:$(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=0$Se$(x,y)\notin I$e$(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=+\infty$Se$(x,y)\in I$.