Trova tutte le funzioni continue $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che $f(x)=f(x^2+C)$ per tutti $x\in\mathbb{R}$
Ho postato questa domanda l'ultima volta ma quel thread è stato chiuso purtroppo perché non sono riuscito a scrivere il problema in modo appropriato e fino al punto di una corretta comprensione.
$4.8.3.$ Permettere $C>0$essere una costante arbitraria. Trova tutte le funzioni continue$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ soddisfacente $f(x)=f(x^2+C),$ per tutti $x\in\mathbb{R}.$
Questa domanda è stata provata da un intero gruppo di studenti ma senza successo. Chiedo a tutti qui di provarlo. Le mie idee: dopo aver visto questo problema mi è venuto in mente il famoso problema di trovare tutte le funzioni continue$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x^2) = f(x)$, che è stato facile. Ho provato il problema nello stesso modo e in modo simile, ma alla fine ho fallito.
Risposte
Per prima cosa consideriamo il caso $c \leq 1/4$; mostreremo in questo caso$f$deve essere costante. La relazione$$ f(x) = f(x^2 + c) = f((-x)^2 + c) = f(-x) $$ lo dimostra $f$è una funzione uniforme. Permettere$r_1 \leq r_2$ essere le radici di $x^2 + c - x$, entrambi reali. Se$x > r_{2}$, definire $x_{0} = x$ e $x_{n+1} = \sqrt{x_{n} - c}$ per ogni numero intero positivo $x$. Per induzione$n$, $r_{2} < x_{n+1} < x_{n}$ per tutti $n$, quindi la sequenza $\{x_{n}\}$ tende a un limite $L$ che è una radice di $x^{2} + c = x$ non meno di $r_{2}$. Ovviamente questo significa$L = r_{2}$. Da$f(x) = f(x_{n})$ per tutti $n$ e $x_{n} \to r_{2}$, Concludiamo $f(x) = f(r_{2})$, così $f$ è costante $x \geq r_{2}$.
Se $r_{1} < x < r_{2}$ e $x_{n}$ è definito come prima, quindi per induzione, $x_{n} < x_{n+1} < r_{2}$. Notare che la sequenza può essere definita perché$r_{1} > c$; quest'ultimo segue notando che il polinomio$x^{2} - x + c$ è positivo a $x = c$ e ha il suo minimo a $1/2 > c$, quindi entrambe le radici sono maggiori di $c$. In ogni caso, lo deduciamo$f(x)$ è anche costante $r_{1} \leq x \leq r_{2}$.
Infine, supponi $x < r_{1}$. Ora definisci$x_{0} = x, x_{n+1} = x_{n}^{2} + c$. Dato che$x_{n} < r_{1}$, noi abbiamo $x_{n+1} > x_{n}$. Quindi se avessimo$x_{n} < r_{1}$ per tutti $n$, dallo stesso argomento del primo caso si deduce $x_{n} \to r_{1}$ e così $f(x) = f(r_{1})$. In realtà, questo non accade; alla fine abbiamo$x_{n} > r_{1}$, in quale caso $f(x) = f(x_{n}) = f(r_{1})$da quello che abbiamo già mostrato. Concludiamo quello$f$è una funzione costante. (Grazie a Marshall Buck per aver rilevato un'imprecisione in una versione precedente di questa soluzione.)
Supponiamo ora $c > 1/4$. Poi la sequenza$x_n$ definito da $x_0 = 0$ e $x_{n+1} = x_n^2 + c$è rigorosamente in aumento e non ha limiti. Quindi se definiamo$f$ sopra $[x_0, x_1]$ come qualsiasi funzione continua con valori uguali sugli endpoint ed estendere la definizione da $[x_n, x_{n+1}]$ per $[x_{n+1}, x_{n+2}]$ dalla relazione $f(x) = f(x^2 + c)$ed estendere ulteriormente la definizione a $x < 0$ dalla relazione $f(x) = f(-x)$, la funzione risultante ha la proprietà desiderata. Inoltre, qualsiasi funzione con quella proprietà ha chiaramente questa forma.
Da $f(-x)=f((-x)^2+C)=f(x^2+C)=f(x)$, si può anche limitare a $\mathbb R^+=[0,\infty)$.
Permettere $T:x\mapsto x^2+C$. La dinamica topologica di$T$ dipende dal valore di $C$, che determina il numero di punti fissi di $T$ in $\mathbb R^+$: $T$ ha zero, uno o due punti fissi, a seconda che $C>1/4$, $C=1/4$, o $C<1/4$.
Ecco uno schizzo di una risposta per il caso $C>1/4$, quando $T$non ha punti fissi$\mathbb R^+$. Permettere$t_0=0$ e definire $t_n$ ricorsivamente da $t_{n+1}=T(t_n)$. Nota che$\lim_{n\to\infty}t_n=\infty$. La sequenza degli intervalli semiaperti$I_1=[t_0,t_1),\ldots,I_n=[t_{n-1},t_n),\ldots$ formare una partizione di $\mathbb R^+$. Permettere$g:[t_0,t_1]\to\mathbb R$ essere qualsiasi funzione continua tale che $g(t_0)=g(t_1)$. Adesso molla$f(x)=g(x)$ sopra $I_1$, permettere $f(x)=g(T(x))$ sopra $I_2$e così via $f(x)=f(T(x))$ su ciascun $I_n$.