Trova tutti i gruppi finiti$G$st per qualsiasi$a,b\in G$o$a$è un potere di$b$o$b$è un potere di$a$
Trova tutti i gruppi finiti$G$st per qualsiasi$a,b\in G$o$a$è un potere di$b$o$b$è un potere di$a$
Penso di aver dimostrato che tutti questi gruppi lo sono$Z_{p^n}$per$p$prime, è corretto? Per prima cosa ho dimostrato che il gruppo deve essere ciclico considerando l'elemento di ordine maggiore$\langle a\rangle$e raggiungere la contraddizione se$\langle a\rangle\not= G$., e poi che se$Z_n$insieme a$n$composite allora non ha questa proprietà. poiché esistono due sottogruppi ciclici disgiunti di ordini coprimi.
È corretto? Tutti i gruppi sono tali gruppi$Z_{p^n}$?
Risposte
Questo è corretto. Bene, a parte la cosa dei "sottogruppi disgiunti". I sottogruppi sono "quasi disgiunti", cioè la loro intersezione è ridotta all'elemento identità, ma non possono essere letteralmente disgiunti.
Sì, se prendi$a$con ordine massimale e, per assurdo, c'è$b\notin\langle a\rangle$, poi$a=b^n$per alcuni$n>1$, Così$b$ha un ordine maggiore di$a$.
Perciò$G$è ciclico.
Ora possiamo dimostrare che l'ordine di$G$deve essere una potenza primaria: non si può escludere “composito” (sbaglio minore, ma rilevante).
Se$|G|$è divisibile per due numeri primi distinti$p$e$q$, poi$G$ha sottogruppi di ordine$p$e$q$, ma questi hanno un'intersezione banale, quindi il gruppo non può avere la proprietà dichiarata.
Un gruppo ciclico di ordine$p^n$($p$a prime) ha la proprietà dichiarata.