Trovare il vicinato prescritto su un collettore

Question

Data una varietà liscia, dimostralo per un insieme aperto$U\subset M$possiamo sempre trovare un insieme chiuso$\bar{B}\subset U$tale che$B$è un intorno di un certo punto$p\in U$.

Il mio tentativo: da allora$M$ha base di palline regolari, esiste$B\subset U$che è una palla normale, quindi esiste un'altra$B'$tale che$\bar{B}\subset B'$. Ma come mostrarlo è contenuto in$U$?

Answer 1

Scegliere$p\in U$e scegli una palla coordinata$V\ni p$insieme a$V\subseteq U$. Possiamo scegliere questa palla in modo che ci sia un diffeomorfismo$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$.Poi, set$W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, e poi notalo$\overline{W}\subseteq U$e quello$W$è un quartiere di$p$.

Nota: la prima scelta di$V$è possibile perché esiste una base per insiemi aperti di coordinate.