Trovare la base di uno spazio colonna

Aug 24 2020

mi è stata posta la seguente domanda:

Supponiamo che$A$è riga equivalente a$B$. Trova le basi per Null A e Col A.$$A=\left[\begin{matrix}-2&6&-2&-6\\2&-9&-6&2\\-3&12&5&-5\\\end{matrix}\right],B=\left[\begin{matrix}1&0&9&7\\0&3&8&4\\0&0&0&0\\\end{matrix}\right]$$

So che per trovare la base dello spazio nullo, posso impostare$A$uguale a zero e utilizzare le variabili dalle colonne libere. So anche che per trovare la base dello spazio delle colonne posso semplicemente usare tutte le righe con quelle iniziali. La mia domanda riguarda lo spazio della colonna. Per minimizzare questo in REF, metto A e B in una matrice aumentata? Oppure posso trovare lo spazio della colonna senza usare affatto il mio B, impostandolo su zero nello stesso modo in cui lo faccio per il mio spazio nullo?

Modificare:

In questo momento, ho creato una matrice aumentata e ho trovato il REF. Il mio spazio colonne è diventato:$$\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}-4\\1\\0\\\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0\\\frac{-1}{2}\\1\\\end{matrix}\right)$$È corretto?

Risposte

1 JohnHughes Aug 24 2020 at 02:25

Fare operazioni di fila su$A$non cambia quali colonne sono linearmente indipendenti.

In$B$, puoi vedere che le prime due colonne sono indipendenti e tutte le altre sono combinazioni lineari di quelle; più in generale, in un RREF, se si cerca la prima voce diversa da zero in ogni riga e si cerchia quella (in questo caso, è la voce$(1,1)$e$(2,2)$), quindi le COLONNE contenenti gli elementi cerchiati si estendono nello spazio delle colonne.

E lo spazio nullo? Per ogni colonna NON contenente una voce cerchiata (in questo caso colonne 3 e 4), è possibile rendere le voci corrispondenti tutte zeri tranne una singola$1$, quindi crei vettori$$ \pmatrix{\star\\ \star \\ 0 \\ 1}, \pmatrix{\star\\ \star \\ 1 \\ 0} $$nel tuo esempio; poi chiedi "quali valori devo inserire per sostituire le stelle per far sì che questi vettori soddisfino$Ax = 0$? Risulterà facile rispondere a questa domanda (dal modulo scaglione di fila), e questo ti darà una base per lo spazio nullo.