Trovare la trasformata inversa di Laplace di $\frac{s}{(s+1)^3}$ utilizzando la formula di inversione
Devo trovare la trasformata inversa di Laplace di $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$utilizzando Bromwich Integral. Il contorno di Bromwich sarà simile a questo .
In realtà puoi vedere questo problema al seguente link: https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w. Vorrei sapere perché dovremmo mostrare l'integrale insieme$L_u$, $C_R$, $L_D$ è $0$? Voglio dire, ho visto molti esempi su alcuni libri (come Metodi matematici per fisici, 3a ed.) È solo necessario mostrare il residuo a poli semplici per risolvere l'inversione della trasformata di laplace
Quindi, in questo caso dovrebbe essere:
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
Puoi spiegare perché dovremmo mostrare l'integrale insieme $L_u$, $C_R$, $L_D$ è $0$ (in base al collegamento dato) se la teoria dei residui è sufficiente per valutare l'integrale per trovare la trasformata inversa di $F(s)$?
Spero che tu possa spiegarmi. Voglio saperne di più su questo, ma sono ancora confuso quando si tratta di questa domanda. Grazie molto!
Risposte
Il teorema dei residui è un'estensione del teorema integrale di Cauchy . Entrambi i teoremi iniziano con curve chiuse rettificabili all'interno di un semplice dominio connesso in$\mathbb{C}$.
Trasformata di Laplace inversa di $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$, è espresso da
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
dove $c$ è un numero reale che è maggiore di tutte le singolarità di $F(s)$.
Per applicare il Teorema dei residui, valutiamo l'integrale di $F(s)e^{st}$su una curva chiusa e rettificabile. Quindi, iniziamo la nostra analisi e scriviamo
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
Data la questione specifica dell'OP, assumiamo qui che le uniche singolarità di $F(s)$sono singolarità polari. Se$F(s)$ ha singolarità dei punti di diramazione, quindi chiuderemmo il percorso di Bromwich in modo tale che i punti di diramazione ei corrispondenti tagli di diramazione siano esclusi dall'interno del contorno chiuso.
Supponiamo che tutti i file $N$ numero di poli di $F(s)$ sono all'interno del contorno chiuso $C$ e denota la posizione del file $n$'th pole by $s_n$, dove $n=1,2\cdots N$. Quindi, abbiamo dal teorema dei residui,
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
Inoltre, come $R\to \infty$, il primo integrale sul lato destro di $(2)$ approcci $2\pi i f(t)$ come espresso in $(1)$. Quindi, se l'integrale è finito$L_u+C_R+L_d$ svanisce come $R\to \infty$, quindi dall'equazione $(2)$ e $(3)$, lo troviamo
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
NOTA: l'espressione in$(4)$ era basato sul presupposto che
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
Se $(5)$ non riesce a reggere, quindi $(4)$ fallisce allo stesso modo.