Tutte le forme simmetriche bilineari non degenerate su uno spazio vettoriale complesso sono isomorfe

Question

Tutte le forme simmetriche bilineari non degenerate su uno spazio vettoriale complesso sono isomorfe. Ciò significa che, data una forma simmetrica bilineare non degenerata su uno spazio vettoriale complesso, è possibile scegliere una base per lo spazio vettoriale tale che la rappresentazione matriciale della forma bilineare sia la matrice identità? Qualcuno può aiutarmi a spiegarmi perché è così?

Sto pensando che una matrice con voci in$\mathbb{C}$avrà un'equazione caratteristica che si divide in fattori lineari (con molteplicità) e quindi sarà diagonalizzabile, ma non riesce ancora a mettere insieme questi pezzi. Approfondimenti apprezzati!

Answer 1

La risposta è si.

Innanzitutto, una prova che le forme bilineari sono isomorfe. Si noti che è sufficiente dimostrare che ciò vale$\Bbb C^n$.

In primo luogo, sostengo che ogni matrice invertibile, complessa e simmetrica può essere scritta nella forma$A = M^TM$per qualche matrice complessa$M$. Ciò può essere visto, ad esempio, come conseguenza della fattorizzazione di Takagi .

Adesso molla$Q$denotare una forma bilineare simmetrica finita$\Bbb C^n$, e lascia$A$denotare la sua matrice nel senso che$Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. Permettere$Q_0$denotare la forma bilineare canonica definita da$Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. Noi scriviamo$A = M^TM$per qualche matrice complessa invertibile$M$.

Definire$\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$di$\phi(x) = Mx$. È facile verificarlo$\phi$è un isomorfismo di spazi prodotto bilineari, in modo che i due spazi siano effettivamente isomorfi.

Con tutto ciò stabilito: possiamo vedere che il cambio di base$y = Mx$è tale che$Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.