Una definizione più generale di una sorgente e un sink per un campo vettoriale
Per quanto ne so, la definizione di una sorgente e di un pozzo sono date rispettivamente in termini di operatore di divergenza.
Cioè, dato un campo vettoriale $\vec{D}$, ha una fonte in questione$P$ se la sua divergenza $\text{div}\vec{D}$ è positivo in $P$o un lavandino se è negativo. Ad esempio, nell'elettromagnetismo, si dice$\text{div}\vec{D} = \rho_v$ dove $\rho_v$ è la densità di carica del volume e $\vec{D}$ è la densità del flusso elettrico.
Ma diciamo $\vec{D}$ è dato da una carica puntiforme positiva $q$ situato in $(0,0,0)$ che crea il campo
$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$
dove $\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.
In questo caso, $\text{div}\vec{D}=0$ ovunque, tuttavia, l'origine è una sorta di sorgente in quanto il campo "emerge" da lì e il flusso netto su ciascuna superficie che racchiude la carica è positivo.
La mia domanda è: ci sono altre definizioni di sorgente e sink? Forse alcuni che sono un po 'più generali e comprendono casi più particolari come quello che ho menzionato per ultimo?
Risposte
Penso che una generalizzazione intuitiva derivi dal teorema della divergenza! Vale a dire, se sappiamo che un campo vettoriale ha una divergenza positiva in una certa regione, l'integrale sulla superficie di qualsiasi palla attorno a quella regione sarà positivo. Questo comprende il tuo esempio, perché in questo modo non abbiamo mai bisogno di guardare alla singolarità$x = 0$, guardiamo solo le palle intorno a quella singolarità!
Denota da $B_r(p)$ la sfera aperta del raggio $r > 0$ in giro $p$e denotare con $\partial B_r(p)$ la sua superficie di confine.
Permettere $U \subset \mathbb{R}^n$ essere un insieme aperto, e $p \in \mathbb{R}^n$ un punto in modo che ci sia un $\epsilon > 0$ in modo che le sfere $\partial B_r(p)$ sono contenuti in $U$ per tutti $r < \epsilon$.
Dato un campo vettoriale continuo $X : U \to \mathbb{R^n}$, diciamo che un punto $p \in U$ è...
- ... una fonte per$X$ se c'è un file $\epsilon > 0$ così che $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
- ... un lavandino per$X$ è se c'è un $\epsilon > 0$ così che $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$
Se il tuo campo vettoriale può essere esteso per essere liscio in tutto l'interno $B_r(p)$ delle sfere $S_r(p)$, allora ci dice il teorema della divergenza
$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$
e quindi la tua definizione implica questa, perché se $\text{div} X(p) > 0$ in un singolo punto, quindi per argomenti di continuità ci sarà una palla intera $B_r(p)$ in cui $\text{div} X > 0$.
Scoprirai che il tuo esempio si adatta perfettamente a questa definizione e puoi calcolare molto facilmente gli integrali sulle palle intorno allo zero, e saranno tutti positivi, anche se non puoi mai toccare il punto zero stesso.
Non sto citando da nessun libro di testo o giù di lì, quindi attenzione, questa è solo la mia opinione su una ragionevole generalizzazione :)
EDIT: un'alternativa è cambiare la definizione della divergenza, ma usando ancora l'idea di integrare le palline attorno ai punti, vedi ad esempio in questa domanda e risposta.
Nel caso in cui il campo vettoriale sia integrabile puoi dare una definizione molto più topologica.
Permettere $\vec{D}$ essere un campo vettoriale integrabile e $d$il suo flusso. Permettere$p$ tale che $\vec{D}(p)=0$.
$p$ è un $\textit{sink}$ se esiste un insieme aperto $U$ contenente $p$ tale che $\overline{d(U)} \subset U$.
$p$ è un $\textit{source}$ se esiste un insieme aperto $U$ contenente $p$ tale che $\overline{U} \subset {d(U)} $.