Una domanda in definizione di prodotto di famiglia in categoria

Aug 19 2020

Sto studiando le categorie di Algebra di Thomas Hunger Ford e ho una domanda sulla definizione delle categorie:

La mia domanda è: ciò che l'autore intende con questo diagramma è commutativo.

Non ho idea di cosa significhi nonostante la definizione $7.2$ dato sopra è assolutamente compreso.

Dì gentilmente cosa intende l'autore con questo.

Risposte

4 EeveeTrainer Aug 19 2020 at 12:23

Fondamentalmente, ciò che significano è che ogni triangolo nel diagramma rappresenta un insieme di composizioni e uguaglianze di morfismo. Per esempio,

Questo particolare diagramma lo implica $\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. Allo stesso modo:

Questo diagramma implica $\pi_2 \circ \varphi = \varphi_1$.

Ciascuno di questi triangoli è considerato un diagramma commutativo e diciamo anche che il diagramma realizzato "frantumandoli" insieme (come è stato originariamente mostrato) è anch'esso commutativo.

Più in generale: in un diagramma commutativo, qualunque percorso tu prenda dagli stessi punti di inizio e fine rappresenta un'uguaglianza di qualche tipo (nella teoria delle categorie, le uguaglianze riguardano la composizione del morfismo). Il primo triangolo prende due percorsi da$B$ per $A_1$ ad esempio: uno direttamente lì tramite $\varphi_1$ e l'altro va a $P$ attraverso $\varphi$e poi a$A_1$ attraverso $\pi_1$. Quindi, affermiamo$\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. Lo stesso accade per l'altro diagramma e per i diagrammi commutativi in ​​generale.

È una bella intuizione visiva di come funzionano queste cose e di come le uguaglianze possono essere viste, utilizzate e manipolate.

Puoi trovare altri esempi, diagrammi e spiegazioni nell'articolo di Wikipedia qui .

1 NoahSchweber Aug 19 2020 at 12:24

Un diagramma è commutativo se e solo se quando guardiamo tutte le frecce che genera - cioè, tutte le frecce che possono essere formate componendo frecce nel diagramma stesso - vediamo solo una freccia tra due oggetti.

Ad esempio, supponiamo di esaminare la categoria Set . Considera gli oggetti$A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{1,2\}$e il diagramma "triangolo" costituito dalle frecce $$f:A\rightarrow B: 1\mapsto 2,\quad g: B\rightarrow C: 2\mapsto 2,\quad\mbox{and}\quad h:A\rightarrow C: 1\mapsto 1.$$Questo diagramma non è commutativo: oltre alle frecce esplicitamente presenti$f,g,h$ stessi, abbiamo anche la freccia "generata" $g\circ f$. Questo ha lo stesso dominio e codominio di$h$, ma è diverso da $h$.

Più scattante:

I triangoli commutativi sono esattamente esempi di composizione delle frecce: frecce date$f,g,h$ dove $g\circ f$ è definito e ha la stessa origine e destinazione di $h$, il triangolo formato da $f,g,h$ è commutativo iff $g\circ f=h$.

Ovviamente ci sono diagrammi commutativi più complicati là fuori. I riquadri per il pendolarismo si presentano frequentemente (vedi ad esempio "riquadri pullback"): in pratica, questi corrispondono a situazioni in cui abbiamo frecce$f_1,f_2,f_3,f_4$ tale che $f_1$ e $f_2$ hanno la stessa fonte e $f_3$ e $f_4$ hanno lo stesso target e le composizioni $$f_3\circ f_1\quad\mbox{and}\quad f_4\circ f_2$$ sono (definiti e) uguali.