Una domanda sul calcolo delle aspettative [duplicato]

Question

Permettere$X$e$Y$essere due variabili casuali.

Noto un libro afferma$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$senza prove.

Penso che, per il caso più semplice, la prova possa essere la seguente:$E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$.

Ma cosa succede se le probabilità corrispondenti per Y sono$q_i$e$p_i \ne q_i$in generale?

Answer 1

Nota : per semplicità scriverò$f(x,y)$invece di$f_{XY}(x,y)$. La seguente dimostrazione è nel caso continuo, ma una dimostrazione simile è nel caso discreto o in generale

$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$

EDIT: caso discreto

$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$