Una domanda sul valore atteso
Permettere$p$essere un numero reale tra$0$e$1$. Simone ha una moneta che fa uscire testa con probabilità$p$e croce con probabilità$1-p$; ha anche un numero scritto su una lavagna. Ogni minuto lancia la moneta e, se esce testa, sostituisce il numero$x$sulla lavagna con$3x+1$; se esce croce, lo sostituisce con$\frac x2$.
Dato che ci sono costanti$a,b$tale che il valore atteso del valore scritto sulla lavagna dopo$t$i minuti possono essere scritti come$at+b$per tutti i numeri interi positivi$t$, calcola$p$.
La mia unica idea è che sembra una distribuzione binomiale ma con una variabile casuale diversa. Quindi so che il valore atteso del numero di teste è$tp$, e questo è$t(1−p)$per il numero di code. Ma quando penso a permutare quelle operazioni lineari su$x$. Sono totalmente confuso. Penso che il punto critico sia che non so come utilizzare il$at+b$condizione.
Qualsiasi idea o suggerimento sarebbe apprezzato.
Grazie ai suggerimenti di kimichi e lulu, ho fatto molti progressi su questa domanda. Di seguito è il più lontano che ho.
$\left(\frac {5p+1}{2}\right)^{t-1}\left(1-\frac {5p+1}{2}-\frac px\right)=t\left(\frac px-1\right)+1+\frac {2}{1-5p}$
dove$x$è costante e devo trovarlo$p$che è una probabilità; inoltre, questa equazione vale per tutti i numeri interi positivi$t$.
Nota. Problema risolto da kimichi; grazie anche per l'utile suggerimento di lulu. Tuttavia, qualsiasi altro approccio nuovo è sempre il benvenuto.
Risposte
Dopo$t$lanci, la fortuna attesa di Simone$f(t)$è data dalla seguente espressione che coinvolge il$t$-esima potenza di una matrice:$$\pmatrix{f(t)\\1}=\pmatrix{3p+q/2&p\\0&1}^t\pmatrix{x\\1}=M^t\pmatrix{x\\1},\tag1$$dove$$ M=\pmatrix{3p+q/2&p\\0&1}=pH +q T$$dove$$H = \pmatrix{3&1\\0&1}\text{ and } T=\pmatrix{1/2&0\\0&1}$$sono le regole aggiornate per la fortuna di Simone nel vedere una sola testa o una sola coda: se testa,$x\to3x+1$, e se coda,$x\to x/2$.
Dirlo in un altro modo,$H$trasforma il vettore$\pmatrix{x\\1}$al vettore$\pmatrix{3x+1\\1}$, e$T$trasforma il vettore$\pmatrix{x\\1}$al vettore$\pmatrix{x/2\\1}$. Una particolare sequenza di esiti del lancio della moneta, come "testa, croce, croce" genera la trasformazione del vettore iniziale$v=\pmatrix{1\\1}$a$TTHv$. L'aspettativa del risultato su tutte le 8 possibili sequenze di tre risultati lunghi è$(pH+qT)(pH+qT)(pH+qT)v$, e così via, ottenendo la (1) sopra.
Riconciliazione (1) con il$at+b$ Ansatz dà origine a un'equazione aggiuntiva che coinvolge$p$. Vale a dire, per evitare la dipendenza esponenziale da$t$, la matrice$M$deve essere della forma$M=\pmatrix{1&p\\0&1}$, questo è,$3p+(1-p)/2=1$o$p=1/5$. (Il modulo$M=\pmatrix{0&p\\0&1}$non è possibile se$p$è una probabilità.)
Ecco un altro modo molto intelligente per affrontare questo problema, insegnato da un insegnante della mia accademia.
Permettere$a_n$denotare il valore atteso dopo$n$minuti.
$a_{n+1}=p(3a_n+1)+(1-p)(a_n/2)$
Quindi dal presupposto forte$a_n=an+b$che è lineare, quindi$a_{n+1}-a_n=a$. Se sostituiamo l'espressione dell'ultima riga per$a_{n+1}$in questa equazione precedente, otterremo$\left(\left(\frac {5p+1}{2}\right)-1\right)a_n+p=a$. Perché$a_n$varia con$n$, il suo coefficiente deve essere$0$, portando a$p=\frac 15$.