Una domanda sullo spazio metrico definito su$\mathbb{Q}$.
Ritenere$\mathbb{Q}$sia l'insieme di tutti i numeri razionali. Definito$d(p,q)=|p-q| $. Allora quali delle seguenti affermazioni sono vere?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$è chiuso.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$è chiuso.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$è compatto.
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$è compatto.
Quindi ci stavo pensando, dove l'opzione 4. non è vera perché non è limitata. Quindi, non compatto segue dall'illimitatezza. Quindi, se possiamo dimostrare che qui l'insieme in 4. E penso che nessun 1. sia chiuso, poiché il suo complemento è$\mathbb{Q}$unione alcuni set aperti$\mathbb{R}$.
Per l'altra affermazione possiamo usare il criterio generale che "Uno spazio metrico è compatto se è completo e totalmente limitato". Ma ho bisogno di aiuto per farlo.
Risposte
Possiamo scrivere 1. come$\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$che è un insieme aperto reale (gli intervalli aperti sono aperti) intersecato con$\Bbb Q$, quindi quell'insieme è aperto in$\Bbb Q$. È anche chiuso$\Bbb Q$perché possiamo anche scriverlo come$\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, che è chiuso per ragioni simili.
2 è chiuso come possiamo scriverlo come$\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$e come suo elemento$2$non è un punto interno di esso, non è aperto .
L'insieme sotto 3 è proprio come sotto 2 quindi è davvero chiuso, come abbiamo visto, quindi potrebbe essere compatto, dato che è anche delimitato. Ma in realtà non lo è, poiché possiamo scegliere qualsiasi cosa irrazionale$p$"all'interno" dell'insieme (diciamo$\sqrt{3}$va bene) e trovare una sequenza di razionali$q_n$nell'insieme a cui converge$p$ nei reali (questo può sempre essere fatto). Ma poi la sequenza$(q_n)_n$è Cauchy (è convergente nei reali dopotutto) ma non convergente in$\Bbb Q$(poiché l'unico punto in cui potrebbe convergere non si trova nell'insieme). Quindi l'insieme non è compatto. Un motivo più profondo per cui non è compatto (che probabilmente non hai ancora trattato) è che un insieme numerabile compatto in uno spazio metrico deve avere un punto isolato e questo insieme non ne ha. Ma la non completezza (o il fatto correlato che abbiamo una successione senza una sottosuccessione convergente) può essere usata per confutare la compattezza a un livello più elementare.
Per 4, in tutti gli spazi metrici sappiamo che "$A$compatto$\implies$ $A$chiuso e delimitato; Heine-Borel è l' implicazione inversa che vale nei sottoinsiemi di$\Bbb R^n$nella metrica euclidea. La "forza" è dimostrare rapidamente compattezza. Ma l'implicazione sempre valida può essere usata per confutare facilmente la compattezza, e 4 è un esempio: non limitato quindi non compatto è una deduzione valida in qualsiasi spazio metrico.
Un set$A$in uno spazio metrico è compatto se e solo se ogni successione in$A$ha sottosuccessione convergente a cui appartiene il limite$A$. La sequenza$\{1,2,3,..\}$è una successione nell'insieme dato che non ha sottosuccessioni convergenti quindi l'insieme in 4) non è compatto.
In alternativa puoi usare il fatto che$\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$è una copertura aperta dell'insieme senza sottocopertura finita.