Una superficie curva fatta di punti planari è necessariamente una linea?
Non riesco a dimostrare la seguente affermazione, che all'inizio mi è sembrata intuitivamente vera.
Permettere$S$essere una superficie dentro$\mathbb{R}^{3}$. Supponiamo che ci sia una curva$\gamma$in$S$i cui tutti i punti sono piani, cioè la seconda forma fondamentale$\alpha$(o, equivalentemente, l'operatore di forma) di$S$svanisce in tutti i punti di$\gamma$. Questo implica quello$\gamma$fa parte di una linea retta?
Questa domanda è legata all'esistenza di curve asintotiche non rettilinee in$S$. È noto che una curva$\gamma$tale che$\alpha(\dot{\gamma},\dot{\gamma})=0$non devono essere parte di una linea retta.
EDIT: Come sottolineato da Arctic Char, l'affermazione non è vera in generale. Cosa succede se assumiamo che, per ogni quartiere aperto$U$(in$S$) della curva$\gamma$, non c'è nessun aereo$P$tale che$U \subset P$?
Risposte
Prendiamo ad esempio la superficie parametrizzata da$$ x(u,v) = (u, v, (u^2-v)^3). $$È facile vedere che le derivate seconde$x_{uu}$,$x_{uv}$,$x_{vv}$sono nulli lungo la curva$v = u^2$, e quindi l'operatore di forma svanisce lungo questa curva. Tuttavia la curva è una parabola nel$xy$-piano, non una linea retta.