Usare i numeri complessi per dimostrare il teorema di Napoleone

Question

Permettere$ABC$essere un triangolo ed erigere triangoli equilateri sui lati$\overline{BC}$,$\overline{CA}$,$\overline{AB}$al di fuori di$ABC$con centri$O_A$,$O_B$,$O_C$. Prova che$\bigtriangleup O_AO_BO_C$è equilatero e che il suo centro coincide con il baricentro del triangolo$ABC$

Ho già visto questa risposta Dimostrare il teorema di Napoleone con i numeri complessi ma il mio dubbio è diverso,

Ora, in questa rispostahttps://artofproblemsolving.com/community/c618937h1650553_proposition_634_napoleons_theorem($5$esimo post)

scrissero -

$O_AC$è un$\frac\pi6$rotazione di$BC$seguito da una dilatazione con rapporto$\frac1{\sqrt3}$a$C,$quindi abbiamo

$\begin{align*} \frac{o_A-c}{b-c}&=\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3+i}{2}\end{align*}$ma non riesco a capire questo, qualcuno può spiegare questo passaggio per favore?

Nota: ho risolto questo problema usando un semplice inseguimento angolare, ma voglio capire bene come hanno ottenuto le coordinate di$O_A$

grazie

Answer 1

Da$O_A$è il centro di un triangolo equilatero con$BC$come uno della sua parte, quindi$\angle O_ABC=\frac{\pi}{6}$. Inoltre,$\triangle O_ABC$è isoscele con$\angle O_ABC=\angle O_ACB=\frac{\pi}{6}$.

Spero che tu possa implicare il resto da questi