Valutare$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$

Question

$$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$$

Devo valutare questo limite senza usare 'idee di continuità'. Quindi presumo di non poter sostituire$-2$nella funzione e trovare il limite, posso? Come faccio allora a trovare questo limite?

Answer 1

Possiamo immaginarlo$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=59$e per dimostrarlo possiamo usare la definizione per dimostrarlo$\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta>0 \:\forall x\: |x-(-2)|=|x+2|<\delta$noi abbiamo

$$|3x^4+2x^2-x+1-59|=|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \varepsilon$$

quindi assumere wlog$|x+2|<1$questo è$-3<x<-1$poi

$$|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \delta|3x^3-6x^2+14x-29| \le 206 \,\delta$$

da$f(x)=x^3-6x^2+14x-29$è negativo strettamente crescente per$x\in[-3,-1]$e$|f(-3)|=206$, allora basta supporre

$$\delta \le \frac{\varepsilon}{206}$$

Fare riferimento anche al relativo

• Trovare un "adatto"$\delta$dato un limite
• Una questione riguardante (ε, δ)-definizione di limite

Answer 2

Dal momento che$$lim_{x \to -2} 3x^{2}=3(-2)^{4},$$ $$\lim_{x\to -2}2x^{2}=2(-2)^{2},$$ $$\lim_{x\to -2}-x=-(-2)$$e$$\lim_{x \to -2}1=1$$Quindi puoi concludere che$$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)$$esiste e anche$$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=3(-2)^{4}+2(-2)^{2}-(-2)+1=59.$$

Nota che hai solo bisogno della proprietà dei limiti.