Valutazione di un limite di sequenza di probabilità

Question

Permettere$X_1, X_2, \ldots$essere una sequenza di variabili casuali iid con distribuzione concentrata su$[1,\infty)$e momento secondo finito. Supponiamo che$a=E\ln X_1$,$\sigma^2=\operatorname{Var}\ln X_1$.

Come valutare un limite di sequenza di probabilità$$\Pr\left(\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}\right) ? $$Non ho idea di come iniziare. Immagino che possa essere associato al teorema del limite centrale, ma non ne sono sicuro.

Answer 1

Prendere logaritmi e lasciare$Y_{i} = \ln(X_{i})$:

$$\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}$$

$$\begin{align} &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} + na\\ &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \\ &\Longleftrightarrow A_{n} \equiv \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \end{align}$$

Il primo termine converge in distribuzione a$N(0, \sigma^{2})$per il teorema del limite centrale, e il secondo termine converge in probabilità a$-2a$per la legge debole dei grandi numeri, dunque$A_n$converge in distribuzione a$N(-2a, \sigma^{2})$.

$$\mathbb{P}(A_{n} \leq 0 ) \rightarrow \Phi\left(\frac{2a}{\sigma}\right)$$

Dove$\Phi$è il cdf normale standard.