Varianza del prodotto di un vettore unitario con uno scalare

Question

Come possiamo calcolare

$$Var(AX)$$

Se$A$è un vettore unitario con una fase casuale uniforme tra$[0,2\pi]$e$X$è una variabile casuale scalare con una distribuzione uniforme su$[-1,1]$.$A$e$X$sono indipendenti. Grazie.

Answer 1

Da$A=[\cos(\theta)\ \sin(\theta)]^T$, dove$\theta\sim U[0,2\pi], $$\operatorname{var}(AX)$ è una matrice di covarianza $2 \times 2$ . La prima voce (in alto a sinistra) è la varianza di $\cos(\theta)X$ :

$$\operatorname{var}(\cos(\theta)X)=\mathbb E[\cos^2\theta]\mathbb E[X^2]-\mathbb E[\cos\theta]^2\mathbb E[X]^2=E[\cos^2\theta]\mathbb E[X^2]$$

Penso che tu possa trovare $E[\cos^2\theta]$ e $\mathbb E[X^2]$ senza troppi problemi usando i loro PDF. Anche i calcoli delle altre voci saranno simili.