Velocità di fase nella catena monoatomica

Question

Quando si considera una catena monatomica unidimensionale di atomi (masse identiche $m$ e costante di primavera $\kappa$), si trova la seguente dispersione: $$ \omega(k) = \sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, ,$$

che è $\frac{2\mathrm{\pi}}{a}$-periodico. Quindi wavewectors superiore a$\mathrm{\pi}/a$ non fornire un nuovo comportamento fisico.

Tuttavia, quando si calcola la velocità di fase, si trova: $$ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{k}\sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, .$$Ciò significa che la velocità di fase va come un sinc, che non è periodico; i vettori d'onda al di fuori della prima zona Brioullin producono una velocità di fase molto più bassa.

Com'è possibile? C'è una buona ragione per considerare solo la prima zona Brioullin per la velocità di fase? O ci sono altri errori nel mio calcolo?

Answer 1

La velocità di fase è in qualche modo priva di significato al di fuori della prima zona di Brillouin. La velocità di fase è la velocità con cui percorre la "cresta" di un'onda, ma al di fuori della prima zona di Brillouin, la lunghezza d'onda è inferiore alla spaziatura tra gli atomi, quindi non ci sono realmente creste; la maggior parte delle "creste" si verificano negli spazi tra gli atomi dove non c'è nulla da spostare, quindi le creste sono una specie di artefatti matematici.

Mentre è possibile definire una funzione continua per lo spostamento degli atomi dalla loro posizione di equilibrio $u\left(x, t\right)$per l'onda, ciò non significa che l'onda sia realmente continua; l'onda ha solo uno spostamento significativo al$x$posizioni in cui ci sono atomi. Quindi, parte dell'intuizione proveniente dalle onde in un mezzo continuo non si applica realmente.