Verificare la convergenza delle serie $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Question

Voglio verificare se le seguenti serie convergono o meno.

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Suppongo che dobbiamo trovare qui un limite superiore e applicare quindi il test di confronto. Ma non ho davvero un'idea di quale limite potremmo prendere. Puoi darmi un suggerimento?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}$

Abbiamo un termine che è un prodotto della forma $\frac{2i-1}{2i}=1-\frac{1}{2i}$. Per applicare il test di confronto dobbiamo trovare un limite superiore. Lo tiene$1-\frac{1}{2i}\leq \frac{1}{2}$ e così $$\prod_{i=1}^n\left (1-\frac{1}{2i}\right )\leq \prod_{i=1}^n \frac{1}{2}=\frac{1}{2^n}$$ Quindi prendiamo la somma che otteniamo $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}\leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}=1$$ Quindi dal test di confronto deve convergere anche la somma originale.

È tutto corretto?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n\cdot (2n+2)}}$

Abbiamo un termine che è un prodotto della forma $\frac{2i-1}{2i+2}$. Quale limite superiore potremmo usare in questo caso?

Answer 1

Alcuni suggerimenti:

Per prima cosa possiamo usare il test di Raabe$$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right) = \frac{n}{2(n+1)}$$

Per secondo $$\frac{1}{2\sqrt{n}} \leqslant \frac{1}{2} \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2n}}\quad (1)$$

Prova:

Per $n=1$ noi abbiamo $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} $, quindi supponiamo $n \geqslant 2$. abbiamo$$\frac{3}{4}>\frac{2}{3}, \frac{5}{6}>\frac{4}{5},\frac{7}{8}>\frac{6}{7}, \cdots, \frac{2n-1}{2n}>\frac{2n-2}{2n-1}$$ moltiplicazione che dà questa disuguaglianza $$\frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{2}{3} \frac{4}{5} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}$$ Ora se moltiplichiamo i lati sinistro e destro sul lato sinistro, abbiamo $$\left( \frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} \right)^2 > \frac{1}{n} $$ Che è il lato sinistro di (1).

Answer 2

L'approssimazione di Stirling implica $\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{n\pi}}$, così $\frac{n!^24^n}{(2n+1)!}\sim\frac{\sqrt{\pi}/2}{\sqrt{n}}$, quindi la serie diverge.