Vincolato al valore singolare

Aug 18 2020

Permettere$M \in \mathbb{R}^{d\times d}$essere una matrice antisimmetrica. Esiste un limite inferiore/superiore o un'uguaglianza relativa alle due quantità$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$Il lato destro è il quadrato del più piccolo valore singolare di$A$. Nota anche questo$u^* A u$deve essere puro mentre immaginario$u^* A^T A u$deve essere reale.

In effetti, il commento qui sotto di Stephen mostra che il lato sinistro è zero. Che dire delle matrici generali$A$, non necessariamente antisimmetrico?

Risposte

chaos Aug 22 2020 at 16:00

Grazie Stephen per aver indicato la disuguaglianza di Cauchy-Scharz: abbiamo$$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$per vettore normale$u$e matrice reale$A$, quindi$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$per qualsiasi matrice reale$A$. Il lato sinistro è zero per antisimmetrico$A$.