Vincoli in base ai quali$\rho(x, y) = |x - y|^d$soddisfa la disuguaglianza triangolare
È possibile dimostrare con mezzi puramente algebrici (senza ricorrere subito a controesempi) che$\rho(x, y) = |x - y|^d$non soddisfa la disuguaglianza triangolare$\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$per$d = 2$? E sotto quali vincoli su$x, y, z$soddisfa la disuguaglianza? Sto cercando di capire perché$\rho$non può essere una metrica valida su$\mathbb R$.
Domanda bonus: per quali altri valori$d \in \mathbb R$fa$\rho$non soddisfa la disuguaglianza triangolare.
Risposte
La disuguaglianza è equivalente a$(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$per$a, b \geq 0$. Mettendo$a=b=1$Lo vediamo$2^{d} \leq 2$. Quindi$d \leq 1$è una condizione necessaria. Per ogni$d \in (0,1]$la disuguaglianza è valida. Questo può essere dimostrato osservando che$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$è funzione decrescente di$a$e svanisce quando$a=0$.
quando$d<0$,$|x-y|^{d}$non è nemmeno definito quando$x=y$quindi non produce una metrica.$d=0$è lasciato a te.