2つのガウス分布の合計を証明する方法も、特性関数を使用したガウス分布です[重複]
Dec 31 2020
XとYを2つとします $ \mathcal{N}(0, 1) $分布。私はそれを証明しなければなりません$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $、 $ aX + bY $ に等しい $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$。
ガウス分布の特性関数を使用してこれを実行しようとしています。 $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$
変数を変更してもxとyの両方を置き換えることができないため、どうすればよいかわかりません。暗示はありますか？
回答
1 Arash Jan 01 2021 at 04:39
しましょう $Z=aX+bY$。の特徴的な機能$Z$ は：
$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$
編集（ずさんな間違い...）XとYが独立している場合：
$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$、
どこ $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$は正規分布の特性関数です。そう、
$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$、
これは正規分布の特性関数です $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$。