2つの確率変数のモーメント母関数
Aug 19 2020
しましょう $X$ そして $Y$ それぞれのモーメント母関数を持つ独立確率変数であること
$M_x(t) = \frac{(8+e^t)^2}{81} $ そして $M_y(t) = \frac{(1+3e^t)^3}{64} , -\infty<t<\infty $
次に $ P(X+Y = 1) $等しい
モーメント母関数を使用して確率を見つけることができることを私は知っています
$M_x(t) = P(X=0)e^{t*0} + P(X=1)e^{t*1}.....P(X=n)e^{t*n}$
このmgfを比較すると、特定の確率を得ることができます。しかし、この質問をどのように行うのでしょうか？
回答
6 KaviRamaMurthy Aug 19 2020 at 17:06
ヒント： $X$ そして $Y$負でない整数値の確率変数です。したがって、$$P(X+Y=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)$$ $$=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1).$$ ここで注意してください $M_X(t)=\frac {64+16e^{t}+e^{2t}} {81}$。以来$Ee^{tX}=\sum e^{nt}P(X=n)$ わかります $P(X=0)$ そして $P(X=1)$ の係数は $e^{0t}$ そして $e^{t}$。終わりますか？
2 YJT Aug 19 2020 at 17:09
よく知られている $X\sim Bin(n,p)$ その後 $MGF_X(t)=(1-p+pe^t)^n$。したがって、$X\sim Bin(2,\tfrac{1}{9})$ そして $Y\sim Bin(3, \tfrac{3}{4})$。ここから、$\Pr(X+Y=1)=\Pr(X=0,Y=1)+\Pr(X=1,Y=0)$ そして、二項分布の式のすべての数値を置き換える必要があります。