べき級数の導出

Question

で表される関数を見つけたい $\sum_{k=1}^{\infty} k^2z^k$。

これが私がこれまでにしたことです：

で始まります $\sum_{k=1}^{\infty}z^k = \frac{z}{1-z}$等比数列の定義として。次に、級数の導関数を取り、それをzで乗算して次のようにします。$\sum_{k=1}^{\infty}kz^k = \frac{z}{(1-z)^2}$。このプロセスを繰り返すと、$\sum_{k=1}^{\infty}k^2z^k = \frac{z}{(1-z)^2} + \frac{2z^2}{(1-z)^3}$。

これを統合するときにインデックスを変更する必要がありますか、それともこれが最終的な解決策であり、何も変更されませんか？

Answer 1

インデックスの再作成というこの問題を回避する方法があります。

私はそれをもう少し難しくします $\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k$。

書く $$k^3=k(k-1)(k-2)+a k(k-1)+b k +c$$ つまり、 $$c+k (-a+b+2)+(a-3) k^2=0$$ そこから $a=3$、 $b=1$ そして $c=0$。そう$$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^k+3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^k+\sum_{k=1}^{\infty}kz^k$$ 書くことができる $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^{k-3}+3z^2\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^{k-2}+z\sum_{k=1}^{\infty}kz^{k-1}$$ つまり、 $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'''+3z^2\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)''+z\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'$$