ボラティリティ予測の精度
ARCH / GARCHモデルの基本的な概念とその背後にある基本的な数学を理解しています。つまり、時系列の「ボラティリティ」、つまりモデルを記述する時系列の残差をモデル化します。これにより、ボラティリティの予測が可能になります。
しかし、ボラティリティ予測はどのように評価されますか？条件付き平均設定では、実際の値を予測値と比較するだけです。条件付きボラティリティ設定では、何が比較されていますか？前述の値と予測残差の違いは？
この場合、理論的には、残余が常に正しく予測されているシナリオを想像できます。つまり、ポイント予測が常に間違っていることを意味します（残余がゼロより大きい場合）。これは、ポイント予測の偏りに強く依存するため、正しい評価方法にはなりません。しかし、ARCH / GARCHの予測を正しく評価するにはどうすればよいでしょうか？
回答
ボラティリティ予測のポイントは、完全な予測密度を予測することです。たとえば、平均がゼロの正規の将来の密度を想定し、たまたま分散である1つの自由パラメーターを予測することができます。または、ノンパラメトリック手法を使用します。
予測密度を評価するために選択する方法は、適切なスコアリングルールです。我々は持っているスコアリング・ルールのタグを。そのタグウィキには、文献へのいくつかのポインタが含まれています。
例として、International Journal of Forecastingの最新号の最初の関連記事をランダムに選びました。これは、Catania＆Proietti（2020、IJF）による「時変レバレッジとボラティリティ効果のボラティリティによるボラティリティの予測」でした。。それらは、非常に一般的に使用される適切なスコアリングルールの1つである連続ランク確率スコア（CRPS）を使用します。
一般的なボラティリティ予測（具体的にはGARCHではない）の評価について話すと、StephanKolassaの回答に代わるものについて言及します。
分布の統計または「プロパティ」の適切なスコアリングルールを調べることもできます。この領域は、誘発と呼ばれることもあります。そこで、次の質問をすることができます。「適切な」スコアリングルールはありますか$S(v, y)$ 予測を評価する $v$分散サンプルを使用した確率変数の$y$？ここで適切な概念は、期待されるスコアが最大化されるということです。$v$ は真の分散です。
答えはノーであることが判明しました。ただし、トリックがあります。確かに、平均にはそのようなスコアリングルールがあります。$S(u, y) = - (u - y)^2$。したがって、断面二次モーメント（中央に配置されていない）にはスコアリングルールがあります。$S(w, y) = - (w - y^2)^2$。
したがって、偏りのない方法で分散の予測を評価するには、この場合、分散を決定する1次モーメントと2次モーメントの2つのパラメーターについてのみ予測を照会するだけで十分です。言い換えれば、完全な分布を作成して評価する必要は実際にはありません。（これは基本的にあなたの提案です。最初に条件付き平均を評価し、次に残余を大まかに評価します。）
もちろん、分散以外のボラティリティの尺度もあり、それらが「直接誘発可能」であるか（つまり、それらを誘発する適切なスコアリングルールが存在する）、そうでない場合は、それらの「誘発の複雑さ」（つまり、パラメーターの数が必要）に関する研究があります。それを評価するために、基礎となる分布から抽出されます）。これが研究されている1つの場所は、金融におけるリスク尺度です。調査された統計には、期待ショートフォール、バリューアットリスク、および条件付きバリューアットリスクが含まれます。
アメリカ統計協会誌（2011）の「ポイント予測の作成、作成、評価」に一般的な議論があります。https://arxiv.org/abs/0912.0902。誘発の複雑さは、Frongillo and Kash、Vector Valued Property Elicitation、Conference on Learning Theory（COLT、2015）で研究されています。http://proceedings.mlr.press/v40/Frongillo15.html
たぶん、shenflowが探しているのは、できるだけシンプルにすることです。そう：
しかし、ARCH / GARCHの予測を正しく評価するにはどうすればよいでしょうか？
ARMAのように、条件付き平均の場合とそれほど違いはありません。秘訣は、何を予測しようとしているのかを気にする必要があるということです。
たとえば、経済的利益（$r_t$）は、ボラティリティを二乗リターンとして識別するのが一般的です。 $r_t^2$。ここで、ARCH / GARCHのようなモデルは、条件付き分散の仕様を提供します。$V[r_t|r_{t-1},…, r_{t-p}]$
たとえば、ARCH（1）の場合、 $V[r_t|r_{t-1}]= \omega + \alpha_1 r_{t-1}^2 $
次に、予測の精度を評価するために、条件付き分散（ボラティリティ予測）をリターンの2乗（観測されたボラティリティ）と比較する必要があります。次に、精度評価では、平均二乗損失が一般的です。ARCH（1）の場合：
$ MSE [r_t^2 - (\omega + \alpha_1 r_{t-1}^2)] $ いくつかのための $t$
この例の背後には、条件付き平均がゼロであるという仮定があることに注意してください。 $r_t$。そうでなければ、アイデアがそれほど異ならない場合でも、2次モーメントと分散が一致せず、事態はより複雑になります。