分散と期待ショートフォールの最小化：差が顕著である分布
金融のポートフォリオ理論では、 $n$選択する資産では、期待収益を最大化し、分散や期待ショートフォールなどのリスクの尺度を最小化するためにポートフォリオのウェイトを選択することがよくあります*。資産収益を確率変数と見なす場合、期待値が高くリスクの尺度が低い確率変数の、重みの合計が1になる線形結合を探しています。2つの資産だけを考えてみましょう。$n=2$、およびすべての資産の期待収益が同じ定数、たとえばゼロに等しいと仮定します。
質問：
- 分散を最小限に抑えながら大きな期待ショートフォールを維持できる、またはその逆の2変量分布にはどのようなものがありますか？
- 分散を最小化する場合と期待ショートフォールを最小化する場合に、実質的に異なる最適な重みを生成する2変量分布にはどのようなものがありますか？
- そのような分布の特徴は何ですか？（金融からの現実的な例をいただければ幸いです。）
*$q\%$ 期待ショートフォール（期待テールロスまたはリスクのある条件値）は、確率変数の左テールの平均であり、テールはでカットオフされます。 $q\%$ 分位レベル。
トピックは、財務と統計の両方をカバーしています。質問は以前にCrossValidatedに投稿されましたが、回答はありませんでした。ここに再投稿しています。クロスポストはお勧めしませんが、最終的に回答が集まる可能性がある場合に備えて、クロス検証済みの投稿を保持します。
回答
このような計算は、2変量の場合でもすぐに乱雑になり、シミュレーションによって最も適切に対処されます。とはいえ、テールリスクを使用した最適化と分散ベースのリスク尺度の基本的な違いに関する基本的な質問は、ポートフォリオの総収益のみを使用した簡単な計算で説明できます。
簡単に言えば、哲学的および実際的な違いは、テールリスク尺度はテールのみに焦点を合わせているのに対し、分散は分布全体からの情報を組み込んでいるということです。他のすべての違いは、この基本的な違いから生じます。
テール/非テール分解
単変量の場合を分析するだけで十分だと思います。しましょう$S$ ポートフォリオの総収益を示します（例： $S = wX + (1-w)Y$ 2つの資産の場合 $X$ そして $Y$ 重量あり $0\leq w \leq 1$）。
テール確率で $0<q < 1$ と尾の分位数 $s_q$ （すなわち $\mathbb{P}[S<s_q] = q$）尾を区別することができます $\{ S \leq s_q\}$ と非尾 $\{ S > s_q\}$ の地域 $S$ ベルヌーイ変数の使用 $Z = \mathbb{1}_{\{ S \leq s_q\}} $。しましょう$F_S$ の分布である $S$ そして $\hat{F} = F_S \mid \{Z = 0\}$ 上位または非末尾の条件付き分布であり、 $\check{F} = F_S \mid \{Z = 1\}$下部のテール条件付き分布になります。これらの分布は、それぞれ下位の切り捨てられた分布です。さらに、$\hat{e}$ そして $\check{e}$ 期待と分散 $\hat{v}^2$ そして $\check{v}^2$ の $\hat{F}$ そして $\check{F}$。
簡単にするために、 $S$連続密度があります。次に$-\check{e}$ の期待ショートフォールです $S$。を使用して総期待の法則によって$\mathbb{E}[S]=0$ 1つはそれを見ます： $$ 0 = \mathbb{E}[S] = q \check{e} + (1 - q)\hat{e}$$ または $$\hat{e} = -\frac{q}{1-q}\check{e}.\tag{1}\label{1}$$
同様に、全分散の法則を使用する場合にのみ、の分散を分解できます。$S$： $$ \begin{align}\mathbb{V}ar[S] &= \mathbb{E}[\mathbb{V}ar[S\mid Z]] + \mathbb{V}ar[\mathbb{E}[S\mid Z]\\ &= q \check{v}^2 + (1 - q)\hat{v}^2 + \frac{q}{1-q}\check{e}^2\tag{2}\label{2}. \end{align}$$ 第3項では、次の事実を使用します。 $Z$ ベルヌーイは $\mathbb{P}[Z=1]=q$ との関係 $(\ref{1})$ の2つの可能な値の間 $\mathbb{E}[S\mid Z].$
解釈
による $(\ref{2})$ 分散は、2つの「範囲内」分散、つまりテール分散と非テール分散、およびテール分散と非テール分散の平均の差から生じる「中間」分散に分解できます。
そうです、確かに、予想される大きな不足が分散を促進します。その意味で、分散の最適化と期待ショートフォールは同様の方向性を提供します。ただし、差異には追加の項が組み込まれており、期待ショートフォールの最適化では完全に無視されます。そして、間違いなくそして実際にはしばしば$\check{v}^2$ 密接に関連します $\check{e}$ 利用可能な資産分布のテールによって、 $\hat{v}^2$ 多くの場合、特に次の場合は、かなり分離され、やや優勢です。 $q$とても小さいです。分散の最適化では、テール以外のボラティリティを取り除くためにテールリスクを増やすことは非常に理にかなっています。
この近視眼的な振る舞いも理由ですが、純粋な期待ショートフォール（またはバリューアットリスク）の最適化は実際にはまれです。定期的に損失を被る場合、100年に1回のレベルで適切に管理することは慰めではありません。