分析の場合 $f$ これらの2つの条件のいずれかを満たす場合、それは一定です

Question

勉強していない機関の課題質問をしようとしています。私はこれらの2に打たれました。

1. 場合 $f$ 領域から微分可能な関数です $X$ に $\mathbb{C}$ に $\mathbb{R}$ 証明してください $f$ 必然的に定数です。

2. 場合 $f$ そして $\bar {f}$ どちらも地域で分析的です $X$ それらが地域で一定であることを示す $X$。

試み：

1. 地域は常に開いています。だから、$f$ 開いている必要があります（開写像定理）が $\mathbb{R}$ で開いていません $\mathbb{C}$ 補完としてシングルトンであっても $\{x\}$閉じていません。だから、私はどのように私が声明を証明することができるかについて混乱しています。

2. 2の場合、どの結果を使用するかについて本当に混乱しているため、表示するものは何もありません。 $\bar{f}$ 問題の。

親切に助けてください。

Answer 1

1）の証明は正しいです。2）の場合、両方の場合$f$ そして $\bar{f}$ 正則（微分可能）であるため、 $\mathrm{Re}(f)$ そして $\mathrm{Im}(f)$、それでも彼らの範囲はにあります $\Bbb{R}$。1）で証明したことにより、これらは両方とも一定でなければなりません。$f$ は一定です。