分析接続の最も初期の例は何ですか？
リーマンはどうやってそれを知ったのだろうか $\zeta(z)$より大きなドメインに拡張できます。特に、複素数値関数の定義域を明示的に拡張した最初の人は誰で、その関数は何でしたか？
回答
（拡張1/26/21
最初に、英語を母国語としない人のために、「複素数値関数」という句で冠詞「a」を使用することは、質問がリーマンまたは他のゼータ関数だけに関連しているのではないことを意味することを指摘しておきます。これは、すべての人が実数のいくつかのセットからの複合体の一部の連続領域への重要な機能のドメインの拡張を発表していた最初のものである」と私は質問を解釈して、そのドメイン実数のいくつかのセットで機能をそして、その機能は何でしたか？」私にとって、分析接続という用語の正確な意味と、それが一意であるかどうかは別の問題です。
最初の文といくつかのコメントは、リーマンゼータ関数に焦点を当てています。リーマンは独立しておらず、彼の関心は、今日のRHへの強迫観念が暗示するよりもはるかに広範でした。彼の興味は複雑な分析のほとんどすべてを網羅していたので、彼が実際の関数を複雑な関数に拡張することを検討するのは自然なことでした。
オイラーの前に数学者がいないと信じがたい（ある種の地域バイアスのスマック）と、ある朝起きて、「実際の数式を変更して、-1のクレイジーな平方根を含めるとどうなるでしょうか？」ロジャー・コーツは、天文学と天体力学に興味を持って、意味のあることをする準備ができていました。三角関数、その逆関数、微積分、およびニュートン力学のシリーズ担当者に関する同僚のニュートンの作業に精通していること。1600年代の初めにネイピアによって導入された対数表を使用して、地球と空の測量で遭遇する多数の計算を処理します。補間に取り組みます（コートとニュートン）。
コートは、指数関数のそれを含め、べき級数のニュートンの組成反転（1つの式には、形式級数のラグランジュ反転式の連想バージョンが含まれています。以下のフェラーロを参照）に精通していたことをもう一度強調しておきます。Freibergerによる投稿「対数の作成」へのコメント：これらの対数の表がなければ、x軸に沿った距離の対数に等しい対称ハイパーボラの下の領域のニコラスメルカトルからの理論も、アイザックニュートンの復帰の理論もありません。対数の無限級数を達成するためのハイパーボラ公式の計算 $e^x$。（メルカトル図法、点が見え始めましたか？）実際、フェラーロは「1820年代初頭までの級数理論の台頭と発展」の74ページと75ページで、ニュートンが対数のべき級数をどのように反転させたかについて説明しています。$-\ln(1-x)$ 真数のべき級数を取得するには $1- e^{-x}$。（幾何学と分析の彼の優れた習得を持つニュートンは、2つのシリーズの導関数の間の単純な逆関数定理の関係にも確かに気づいたでしょう。）
したがって、微積分の誕生とそのべき級数および組成の逆関数との関連で、コートはオイラーが7歳だった1714年に書き留めたのは当然のようです。
$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$
オイラーの1748年のすばらしい公式の初期バージョン（ウィキペディアを参照）
$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$
導関数（または流率）による明らかなチェックは、指数を明示的に使用せずに式を検証します
$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$
これはニュートンとコートのSOPだったと確信しています-連鎖律の適用、この場合は逆関数定理、 $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$、これは確かに式を明らかにします。
「指数および対数の概念の歴史」で、カジョリは、ジョン・ベルヌーイが1702年に実数から虚数に変換された微分方程式の解をどのように考慮したかを説明し、コートが1714年と1722年に公開した彼の公式の導出を示します。カジョリはまた、その後オイラーは架空の数を使うことを躊躇しなかったと主張している。
今日書かれたオイラーの公式は、指数関数の象徴的な表現のオイラーと同僚による開発を待たなければなりませんでした $\exp(z) = e^z$ と $e$オイラーの定数であり、ネイピアのログテーブルで発生したため、ネイピアの定数と呼ばれることもあります。これは、ログの根底にある多くの微積分がホイヘンスなどによって説明された後のことでした。ログ投稿に記載されているように、指数関数は、ログの優先度を反映して、「真数」と呼ばれることもありました。
Coteの対数公式は、正の実数から対数の引数の複素数の領域への拡張であり、単に置き換えるよりもかなり難しい方法です。 $n$ のシリーズ担当者 $\zeta(n)$ 実数直線上の実数によって、次に複素平面内の他の数に。
コートに関するウィキペディアの記事によると、彼は1722年に「Theorematatum logometrica tum triogonometrica datarumfluxionum fluentes exhibentia、per methodum mensurarum ulterius extensam」で1の根に関する重要な定理を発表しました（そして初めて1ラジアンの値を与えました）。 "（定理、いくつかの対数的、いくつかの三角法、さらに開発された測定方法によって与えられた流率の流率を生成します）。彼は三角法をかなりよく理解しており、この観点から、コートとオイラーの公式は両方とも、$|x| = 1$複素平面に。解は、定義域1と-1および範囲1の非常に単純な関数を定義します。これは、複雑な領域内の半径1の円として分析接続されます。これは、補間の一種です（RogerCotesのWikiの補間リンクにカーソルを合わせます）。）単純な関数方程式を満たす$|f(x)|=1$。（離散整数ドメインを持つ関数から連続複素ドメインを持つ関数（ニュートンおよびsinc / cardinalシリーズ補間に関連する）への補間/解析接続のタイプの他の例は、このMO-QおよびこのMSE-Qに記載されています。）
より広い観点から、コートの対数公式は、実数から実数へのマッピング、複合体から複合体へのマッピングとしてのログの解析接続の明確な例です。もちろん、コートは（実際に利用されており、ログに精通している人なら誰でも知っていることを当然のことと思っていたでしょう）、$u,v > 0$、
$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$
そこで彼は、正の実数から複素数へのログの分析接続の最も難しい部分を書き留めました（ただし、多重度を明示的に説明していません）。
$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$
ウィキペディアの参照：ジョン・ネイピア、対数の歴史、対数、ロジャー・コーツ、オイラーの等式、オイラーの公式。
複雑な引数を使用したオイラーの合計に加えて、オイラーは、ガンマ関数のハイブリッドメリン-ラプラス積分担当者を使用して分数階微積分を開発するために、複雑な引数の階乗をガンマ関数に拡張した最初の人物でした（「オイラーの現代物理学への遺産」を参照）。「DattoliとDelFrancoおよび上記のMSE-Qによる）。ベータ関数のオイラーの積分は、ニュートン（ここでもコートの同僚）が整数二項係数の実数への拡張のために行った一般化された二項係数に対して同じことを可能にします。残念ながら、オイラーは複素数の拡張を完全には理解していませんでした（アルガンドとウェッセルは後で来ます）。そうでなければ、彼は複素解析の計算でコーシー、リウヴィル、リーマンをすくい取ったでしょう。
リーマンゼータ関数の先史時代については、Oswald andSteudingによる「AdolfHurwitzの数学作品におけるゼータ関数理論の側面」を参照してください。著者は、ゼータの先史時代の議論において、「s」が本物であるか複雑であるかについては述べていません。リーマンが検討する前にオイラーや他の人たちが考えるのは自然だったでしょう$s$繁雑。オイラーは、ゼータの整数引数でさえ円周率の累乗に関連付けられていました。これは、彼のすばらしい公式とガンマ関数の反射公式の両方を介して複合体への接続を示唆していましたが、リーマンがなければ、この観点から収集するものはほとんどありませんでした。メリン変換担当者。リーマンが最初にゼータの新しい特性を実際に引き出し、オイラーの反射公式を適用して、右半平面から完全な複素平面へのゼータのハンケル輪郭の連続性を与え、非-他の開発の中でも、些細なゼロ。
赤いニシンは、補間と解析接続の間に人為的な二分法を強制するための近視眼的な努力のようです。私は、コート（およびニュートン）の関心と実領域での補間のスキル（確かに天体軌道の近似に関連している）を使用して、彼が解析接続を行う傾向があることを示します。さらに、二分法はありません。いくつかのMOおよびMSEの質問で、補間が階乗のガンマ関数への分析的継続、ベルヌーイ数からリーマンゼータ、ベルヌーイ多項式からフルヴィッツゼータ、および導関数の整数乗の古典的な計算にどのように関連しているかを示します。他の補間/ ACの中でも、複雑な非整数値を操作します（たとえば、このMO-QまたはこのMO-Qから開始します）。これらは、sinc関数/カーディナルシリーズ補間、二項展開補間、および/またはニュートン補間、およびおそらく他のもの（たとえば、このMO-Q）に関連している可能性があります。いくつかのより洗練された関連性は、マーラーの定理とこのMO-Qへの回答の参照に関連しています。リーマンの贈り物の1つの側面は、これがメリン変換とどのように関連しているかについての彼の洞察でした。
（アクセシビリティバイアスについては、KhanemanとTverskyを参照してください。）