分数不等式に関する質問
$a,b$正の整数です。しましょう$\frac{a}{b}$ 可能な限り最小の分母を持つ分数である $b$ そのような $\frac{386}{2019}$ < $\frac{a}{b}$ < $\frac{35}{183}$。の値を決定します$a+b$。
不等式を単純化しようとしましたが、行き詰まりました。しかし、私はそれを知っています$b$ 最小にする必要があるので、 $a$。
この質問をどのように行うべきか考えていますか？助けてくれてありがとう。
回答
たぶん、以下が役立つでしょう。
我々は持っています $$386b+1\leq2019a$$ そして $$35b\geq183a+1.$$ 方程式を解くことができます $35b=183a+1,$ これは $$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$ どこ $k\geq0$ 分数を与える整数です $\frac{13}{68}.$
見やすい $\frac{13}{68}$ 有効ではない。
今、私たちは取ることができます $k=1$、 $k=2$、..。
また、方程式を解くことができます $386b+1=2019a,$ これは $$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$ どこ $k\geq0$ は整数です。
見やすい $\frac{373}{1951}$ は有効です。
私は最初のケースでそれを手に入れました $k=1$ 有効です。 $\frac{48}{251}.$
連分数の$386/2019$ です $[0; 5, 4, 2, 1, 29]$。
連分数の$35/183$ です $[0; 5, 4, 2, 1, 2]$。
したがって、これらの数値の間に厳密にある最も単純な分数は連分数です $$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$