分数の二分探索

Question

私は次のように行くSedgewickからの本Algorithmsからの練習を解こうとしています：

次の形式の対数のクエリを使用する方法を考案します。その数はx未満ですか？0 <p <q <Nとなるような有理数p / qを見つけるため。ヒント：分母がN未満の2つの分数は、1 / N ^ 2を超えて異なることはできません。

二分探索をしなければならない間隔が] 0、1 [であることは知っていますが、何を探すべきか、そしてNが何であるかはわかりません。誰かが私にそれを説明してもらえますか？

Answer 1

ヒントを無視して、これははるかに難しい問題の解決策です。

つまり、分子/分母の絶対値に対数が制限された二分探索によって、その大きさを事前に知らなくても、有理数を見つけます。

スターン・ブロコットツリーの二分探索です。

class GuessState:
    def __init__ (self):
        self.direction = None
        self.start = [0, 1]
        self.bound = [0, 0]
        self.multiple_upper = 1
        self.multiple_lower = 1
        self.is_widening = True
        self.is_choosing = None

    def next_guess (self):
        if self.is_widening:
            multiple = self.multiple_upper
        else:
            multiple = (self.multiple_lower + self.multiple_upper) // 2
        return (self.start[0] + multiple * self.bound[0], self.start[1] + multiple * self.bound[1])

    def add_response (self, response):
        next_level = False
        if self.direction is None:
            if 0 < response:
                self.bound[0] = 1
                self.direction = 1
            else:
                self.bound[0] = -1
                self.direction = -1
            self.is_choosing = True
            return
        elif self.is_choosing:
            if self.direction * response < 0:
                # Reverse direction.
                self.direction = - self.direction
                (self.start, self.bound) = (self.bound, self.start)
            self.multiple_upper = 2
            self.is_choosing = False
        elif self.is_widening:
            if 0 < response * self.direction:
                self.multiple_lower = self.multiple_upper
                self.multiple_upper += self.multiple_upper
            else:
                self.is_widening = False
                if self.multiple_lower + 1 == self.multiple_upper:
                    next_level = True
        elif self.multiple_lower + 1 < self.multiple_upper:
            if 0 < self.direction * response:
                self.multiple_lower = (self.multiple_lower + self.multiple_upper) // 2
            else:
                self.multiple_upper = (self.multiple_lower + self.multiple_upper) // 2
        else:
            next_level = True

        if next_level:
            next_start = (self.start[0] + self.multiple_lower * self.bound[0], self.start[1] + self.multiple_lower * self.bound[1])
            next_bound = (self.start[0] + self.multiple_upper * self.bound[0], self.start[1] + self.multiple_upper * self.bound[1])
            self.start = next_start
            self.bound = next_bound
            self.multiple_lower = 1
            self.multiple_upper = 1
            self.is_choosing = True
            self.is_widening = True

def guesser (answerer):
    state = GuessState()
    response = answerer(state.next_guess())
    while response != 0:
        state.add_response(response)
        response = answerer(state.next_guess())
    return state.next_guess()

def answerer (answer):
    def compare (guess):
        val = guess[0] / guess[1]
        print(f"Comparing answer {answer} to guess {val} ({guess[0]}/{guess[1]})")
        if val < answer:
            return 1
        elif answer < val:
            return -1
        else:
            return 0
    return compare

print(guesser(answerer(0.124356)))