代数的整数について。

Question

代数的整数について質問しました。 $z$ は複素数であり、 $n$ は自然数であり、次のようになります。 $z^n=\pm 1$。そう、$z-1/z$ は代数的整数です。

I.もし $r$ は有理数です $(z-1/z)^{r}$まだ代数的整数？
または、より一般的な場合$a$algです。int。その後$a^r$また、algです。int。？

II。場合$a-1/a$algです。int。、は$a$alg。int。？

ありがとう

編集します。私はいくつかのより単純な超越的証明について読んでいて、いくつかの同様のステートメントに出くわしました。しかし、私はちょうどこれらの質問をしました、これのために私は答えをオンラインでそれほど簡単に見つけることができません。

Answer 1

I.はいの場合 $r$ポジティブです。必ずしもそうではない$r$負です。場合$a_1,\ldots,a_{n-1}$ は代数的整数であり、 $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x + a_0$代数的整数でもあります。書き込み$r=p/q$ と $p$ そして $q$ （正の）整数、それは明らかです $(z-1/z)^p$ は代数的整数であり、 $(z-1/z)^r$ のルートです $x^q - (z-1/z)^p$したがって、代数的整数自体。場合$r$ が負の場合、答えは負になる可能性があります。 $z=i$、 $z-(1/z) = i-(-i) = 2i$、および取る $r=-1$ 収量 $(2i)^{-1} = -\frac{i}{2}$、これは代数的整数ではありません。

II。mr_e_manが指摘したように、$a-(1/a)$ は代数的整数であり、 $a$ のルートです $x^2 - (a-1/a)x -1$ これは代数的整数係数を持つモニック多項式であるため、 $a$ は代数的整数です。

どちらの場合も、重要なのは

定理。場合$f(x)$は代数的整数係数を持つモニック多項式であり、$a$ のルートです $f$、その後 $a$ は代数的整数です。

それがあなたが証明したい定理です。