デリバティブ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} x^x=x^x\left(\ln x+1\right)$ のために問題があります $x<0$

Question

の導関数を取るために $x ^ x$、 私達は書く

$$\dfrac {\mathrm d}{\mathrm dx} x^x=\dfrac {\mathrm d}{\mathrm dx} e^{\ln x^x}=\dfrac {\mathrm d}{\mathrm dx} e^{x\ln x}= e^{x\ln x}× \dfrac {\mathrm d}{\mathrm dx}(x\ln x)=x^x\left(\ln x+1\right)$$

これが私の問題です：

場合 $x\in\mathbb{Z^-}$、その後 $x^x\in\mathbb {R}$。だが、$\ln x \not\in\mathbb {R}.$

なぜなら、 $\ln x$ 正の実数のセットでのみ定義されます。

もし、 $x \not\in\mathbb {Z^{-}}$ そして $x\in\mathbb{R^{-}}$、その後 $x^x\in\mathbb {C}$ そして $\ln x \in\mathbb {C}.$

しかし、問題は次の場合に発生します $x\in\mathbb{Z^-}.$

そう、 $x^x=e^{x\ln x}$すべての実数に当てはまるわけではありません。これにより、導関数の結果が疑わしくなります。

問題はどこだ？

Answer 1

まったく疑わしいわけではありません。ドメインの孤立点で関数を区別することはできません。したがって、のドメインを拡張しても$x^x$ 負の整数に対しては、これらの点で区別することはできません。どのように制限を行いますか？

一つは、可能性が定義します$x^x$ の負の有理数の場合 $x$ 奇数の分母を持っています。

セット $W=\{a/b: a,b\in\mathbb{Z}, a<0, b>0, b\text{ odd}\}$ でさえ密です $(-\infty,0)$、したがって、それを制限するための良い候補になる可能性があります。

ただし、問題があります。検討してください。 $-1/3$。のすべての近所で$-1/3$ ポイントがあります $x_0$ に $W$ 分子もポイントもある $x_1$ に $W$奇数の分子を持っています。の値$x^x$ で $x_0$ が正の場合、 $x^x$ で $x_1$負です。したがって、関数はで連続ではありません$-1/3$。

したがって、微分可能性は問題外です。

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あなたが考えるなら $x^x$複素数では、複素対数の分岐カットを選択する必要があります。次に、関数は明確に定義され、分析的ですらあります。$x^x=\exp(x\log x)$。もちろん、で導関数を考慮するために$-1$ ネガを取り除く標準的なカットとは異なるカットを行う必要があります $x$-半軸。

Answer 2

関数の微分可能性は、それが区間で連続している場合にのみ見つけることができます $(a,b)$。

$x^x$ のみ継続します $x > 0$。にとって$x<0$、グラフはいくつかの離散点に対してのみ描画できます。グラフのこの部分では、微分可能性は定義されていません。

$$\frac{\mathrm d (x^x)}{\mathrm{d}x}=x^x(\ln x+1)\quad \forall\quad x\in \mathbb{R}^+$$