どうやって $A$ に関連する $B$ もし $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$？

Question

ために $A \geq B$、両方とも厳密に正の整数です、間の関係は何ですか $A$ そして $B$ 次のように本当ですか？ $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$

以前、私はこの質問をすることができます https://math.stackexchange.com/questions/3797351/prove-disprove-a-lfloor-a-b-rfloor-lceil-a-b-rceil-leq-lfloor-a-b-r、そして反例がそれを反証することが示されています。それでは、条件（条件を見つけることができるかどうか）をお聞きしたいと思います。$A$ そして $B$）上記が当てはまるように。

私が気づいたことの1つ（私の元の投稿での@Clement Yungの回答からの一般化-ありがとう！）は、 $B = \lceil A/k \rceil$ （任意の定数の場合 $k$）、上記は誤りです。それが偽であるような他のケースがあるのか​​、それとも常に真である場合の条件があるので良いのだろうか。

Answer 1

まず、次のような場合を考えてみましょう。 $A=B$ その後 $A/B=1$。この場合、$\lfloor A/B\rfloor=\lceil A/B\rceil=1$、OPの不等式がに減少するように

$$A-3\lfloor A/B \rfloor \leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-3\leq A $$

これは自明に真実です。

場合 $A/B>1$、その後 $\lfloor A/B\rfloor+1=\lceil A/B\rceil$、不等式が

$$A-3\lfloor A/B \rfloor -1\leq B \lfloor A/B \rfloor$$ $$A-(B+3)\lfloor A/B \rfloor -1\leq 0$$ $$\lfloor A/B \rfloor\geq \frac{A-1}{B+3}$$

これは、OPの初期の不平等を満たすために必要な条件です。

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たとえば、 $A=5$ そして $B=2$、その後、条件が満たされます。 $$\lfloor 5/2 \rfloor=2 > \frac{5-1}{2+3}=\frac 45$$

したがって、これらの値については、最初の不等式が成り立ちます。

$$5-2-3\leq 2\cdot 3$$ $$0\leq 6$$

別の例として、 $A=12$ そして $B=7$、その後、条件が満たされない $$\lfloor 12/7 \rfloor=1 < \frac{12-1}{7+3}=\frac {11}{10}$$

したがって、これらの値の場合、初期の不等式は成り立たない。

$$12-1-2\leq 1\cdot 7$$ $$9\leq 7$$

Answer 2

$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ 書くことを検討してください $A = NB + k$ いくつかのための $N \in \Bbb{Z}^+$ そして $0 \leq k < B$。2つのケースを考えます。

場合 $k = 0$ （すなわち $A$ の倍数です $B$）の場合、不等式を次のように書き換えることができます。 \ begin {align *} A- \ f {A / B}-\ c {A / B} \ leq \ f {A / B}（B + 1）＆\ iff NB-2N \ leq N（B + 1）\\＆\ iff -2N \ leq N \\＆\ iff N \ geq 0 \ end {align *} これは常に成り立ちます。場合$k > 0$、次に： \ begin {align *} A- \ f {A / B}-\ c {A / B} \ leq \ f {A / B}（B + 1）＆\ iff（NB + k）-N -（N + 1）\ leq N（B + 1）\\＆\ iff k-2N --1 \ leq N \\＆\ iff 3N + 1 \ geq k \ end {align *} 固定の場合$B \in \Bbb{Z}^+$、すべての整数を分類できるようになりました $A$ の値を考慮することによって不等式が満たされるように $k$ （つまり、残りの部分 $A$ で割ったとき $B$、これは有限の数の可能な値を取ります）。特に、$3N + 1 \geq B - 1$、その後、不等式はすぐに満たされます。