同時平行放射性崩壊の動力学
質問:
放射性同位体Aは、次のように異なる原子核に同時に崩壊します。\ begin {array} {cc} \ ce {A-> P}&\、(t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h)\\ \ ce {A-> Q}&\、(t_ {1/2} = 4.5 \ \ mathrm h)\ end {array}
最初にPもQも存在しなかったとすると、何時間後、Qの量は残りのAの量のちょうど2倍になりますか?
私の解決策:
私は $t_{1/2}$ にとって $A$ なので $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$
今からラザフォード・ソディ法則原子の数は、後に残さ$n$ 半減期は、
$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$
と半減期の数 $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$
同位体用 $A$、 $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ どこ $T$ の一般的な減衰時間です $\mathrm A$ そして $\mathrm Q$
にとって $\mathrm Q$ 私はそれを仮定しなければなりませんでした $\mathrm Q$ との関係を形成するために放射性崩壊も受けています $\mathrm A$ そして $\mathrm Q$
上記と同じ式を使用します $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$
質問の条件を適用して、 $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$
力で育てる $9$ 両側に、
$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$
つまり、
$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$
したがって、
$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$
私は答えを得て、それは条件を満たしていますが、私はまだそれが間違っていると思います $\mathrm Q$ との関係を作るために何か他のことをする必要がありました $\mathrm A$ そして $\mathrm Q$ さらに、最初はどちらでもないという質問で与えられています $\mathrm P$ また $\mathrm Q$ 存在し、私は仮定がそれに違反していると思います。
回答
一次の並行反応または副反応:概念
$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$
実効注文= 1
$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$
$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$
$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$
に関して差別化する $T$、
$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$
$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$
$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$
同様に、
$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$
$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$
- の割合 $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [パーセンテージは100倍]
- の割合 $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [パーセンテージは100倍]
実際の問題
\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}
$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$
$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$
$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$
$$\implies t= 6\mathrm h$$
したがって、6時間として答えが得られます。
質問はすでにYashwiniによって解決されており、与えられた答えは正しいです。$^2$ より直感的で具体的な質問の説明がここに続きます。
さて、与えられた2つの反応は次のとおりです。
\ begin {array} {cc} \ require {cancel} \ ce {A-> P}&(t_ {1/2} = 9 \、\ mathrm h)\\ \ ce {A-> Q}&(t_ {1/2} = 4.5 \、\ mathrm h)\\ \ end {array}
現在、反応速度式を使用すると、次のようになります。
\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}
半減期がの1次反応の速度定数 $t_{1/2}$ と定義されている:
$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$
さて、与えられた値を $t_{1/2}$ 方程式に入れると、 $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (以来 $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$
さて、直感的には両方の反応が一緒に起こるので、形成されたPの1モルごとに、Qの2モルが形成されることを意味します。したがって、形成されたPのモルごとに3モルのAが反応します(PとQの各モルに1モルが必要なため)。
ここで、反応速度式を追加します($1$)および $(2)$、反応は同時に起こるので、以下を取得します。
$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$
さて、 $k_\mathrm{P}$ そして $k_\mathrm{Q}$、 我々が得る $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$
したがって、方程式の一次反応に積分反応速度式を使用する $(4)$、 我々が得る:
$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$
さて、 $A$ ここで使用されるのは $A_0 -A$、そしてその値は次のようになります。
$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$
ここで、前述したように、使用されるAの3モルごとに、2モルのQが形成されます。これは、混合物に含まれるQの量が3分の2になることを意味します$A_\text{used}$。したがって、Qの量は次のようになります。
$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$
今、私たちは条件を与えられています、 $Q = 2A$、の値を代入します $Q$ そして $A$ 与えられた関係に私たちは得る:
$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$
解決する $t$、 我々が得る:
\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}
今、方程式を使用して $(3)$、速度定数を取得します $k_\mathrm P$ することが $\frac{\ln 2}{9}$。この値を時間の式に代入すると、次のようになります。
$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$
したがって、この状態が発生するのにかかる時間は次のとおりです。
$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$