複雑な三線座標の解釈
ポイント $X_{5374}$ 三角形の中心の百科事典には三線座標があります $$\sqrt{\cot A}:\sqrt{\cot B}:\sqrt{\cot C}$$参照三角形が鈍い場合、負の数の平方根を取るため、これらの座標の1つ（および1つだけ）が非実数の複素数になります。複雑な座標を持つ可能性のある他のETCポイントがいくつかあります。$X_{5000}$; 三線座標で尋ねた新しい三角形の中心$\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$ 同じカテゴリに分類されます。
三線座標は、定義上、点から三角形のエッジまでの有向距離の比率ですが、この解釈は、すべての座標が実数である場合にのみ機能します。ポイントが複雑な三線座標を持っている場合、どうすればそれを解釈できますか？幾何学的な解釈が望ましいでしょう。
回答
この答えは、幾何学における「架空の」実体の解釈を伴う参照の簡潔で表面的な調査になります。ユークリッド平面幾何学を行うときは、複雑なユークリッド平面で暗黙的に作業しています。実際の平面では、線と円は交差しない場合がありますが、複素平面では交差します。純粋に代数的に作業できますが、多くの場合、幾何学的な解釈があります。たとえば、互いに素な円と線の交点は、仮想点の共役ペアを生成しますが、それらを通る線は、実際には元の線である「実際の」線になります。2つの互いに素な円の2つの仮想交点は、2つの円の根軸である実数直線を定義します（この回答を参照してください）。）。また、2つの円錐曲線の4つの仮想交点は、根軸を一般化し、2つの円錐曲線によって定義された鉛筆の縮退したメンバーに対応する2本の線を定義します。
三線座標に戻ると、ウィットワースの三線座標の第IX章、1866年では、架空の点と線について説明しています。URLには、架空のエンティティへの参照を参照できる検索語が設定されています。
19世紀の合成幾何学にも、架空のものを解釈する方法がありました。これの一部は、たとえば、円錐曲線と直線の交点が互いに素になっても突然消えることはないと主張したポンスレットの「連続性の原理」にまでさかのぼります。たとえば、円錐曲線aは、すべての直線上で同一線上の共役点のペアを使用して対合を決定します。この対合の二重点が実数の場合、それらは直線と円錐曲線の交点です。類推により、二重点が線から外れている対合は、仮想点のペアを表します。
フォンシュタウトはこれらのアイデアを最も推し進めたようです。詳細については、ハットンの幾何学における架空の理論を参照してください。また、クーリッジの複雑な領域の幾何学の最後の部分。
ハミルトンとケトルのグラフと想像は一見の価値があるかもしれません。
これは、複雑な三線座標をどのように解釈するかというあなたの質問に直接答えることはできないと思いますが、過去のこれらのテキストは、少なくとも幾何学がどのように架空のものを操作しようとしたかについての考えを与えます。綜合幾何学でそれを行う方法を考案することは印象的な成果でしたが、おそらく先に進むことにおいて分析的方法よりも実りが少ないので、これはおそらく数学のほとんど忘れられた分野です。