$G_2$ 射影空間の等長変換群として
単純で複雑なリー代数の分類では、すべてのリー代数が射影空間の等長変換群に対応しているように見えます。SO（n + 1）は上の等長変換群です$RP^n$、SU（n + 1）はの等長写像です $CP^n$、およびSP（n + 1）はの等長写像です $HP^n$。
ジョン・バエズは、八元数に関する彼のコースで、例外的なリー群は、リー代数の魔方陣に見られるように、八元数から構築された射影空間の等長写像グループであると説明しています1
$G_2$はこの説明から除外された唯一の例外的なリー群であり、通常は八元数の自己同型群として説明されます。これは素晴らしいことですが、パターンに従うと、いくつかの多様体の等長変換群でもあるはずです。この多様体が何であるかはわかっていますか？
回答
コメントには長すぎますが、完全な答えではありません：
として有名な認識があります $G_2$ 「半径の3倍の別のボールの上を転がるボール」の対称群として。
それが何を意味するのかはよくわかりませんが、2つのボールのすべての可能な構成の賢明なパラメーター化を発明するときはいつでも、彼のものが多様体の構造を持っていることを確信するのは難しいことではありません。おそらく、この多様体は持っているものです$G_2$対称。一方、これは2つのボールが接触しているだけです。どういうわけか、ローリングの概念がより深刻な役割を果たす場合、ストーリーを多様体として再定式化できるかどうか、そしてどのように再定式化できるかはあまり明白ではありません。
しかし、良い出発点はグーグルすることです '$G_2$ ローリングボール」などを見て、それがどうなるか見てみましょう。
編集：ウィキペディアからのこの引用（上のページ $G_2$）それをかなり明確にします：
1893年、エリ・カルタンは開集合を説明するメモを公開しました。 $\mathbb{C}^5$ 2次元分布、つまり、リー代数の2次元部分空間の滑らかに変化するフィールドを備えています。 $\mathfrak{g}_{2}$微小対称性として現れます。[2] 同じ年、同じジャーナルで、エンゲルは同じことに気づきました。その後、2次元の分布が、別のボールを転がるボールと密接に関連していることが発見されました。転がるボールの構成の空間は5次元であり、滑ったりねじれたりせずに転がるボールの動きを表す2次元の分布があります。