外接円と多角形の面積の差が多角形と内接円の面積の差よりも大きいことを証明します。

Dec 06 2020

問題は同等に述べることができます

問題:凸面$n$ 両面ポリゴンには外接円と内接円があり、その面積は $B$、および外接円と内接円の領域は $A$ そして $C$それぞれ。証明してください$2B < A+C$

この問題は非常に難しいと思います。これはつまり、ポリゴンの特殊なケースのための私の試みである正多角形

パラメータの命名:

$R$ ポリゴンの外接円の半径です。
$r$ ポリゴンの内接円半径になります。
$n$ ポリゴンの辺の数です。 $\theta$ = $\frac{2\pi}{n}$ =中心のポリゴンの辺によってなす角。
$a$ ポリゴンの辺の長さです。

間の関係 $R,r,a,\theta$

$R^2 = \frac{a^2}{4} + r^2$$a = 2R*sin(\frac{\theta}{2})$ そして $r = R*cos(\frac{\theta}{2})$

証明する必要があります $2B < A+C$
$\Leftrightarrow \frac{2sin(\theta)}{3+cos(\theta)} < \frac{\pi}{n}$

これは、不等式が $n = 3 $ LHSはRHSよりも速く減少します。

私が正多角形に使用した方法は、すべてに適用できるわけではありません。自由と曖昧さが多すぎます。しかし、一般化多角形に取り組む考えはありません。誰か助けてもらえますか?

回答

3 dezdichado Dec 06 2020 at 01:13

それは実際には簡単です。凸形状の周囲が$P$、その場合、不等式は次と同等です。 $$\pi(r^2+R^2) > Pr,$$ どこ $R$ そして $r$それぞれ、外接円半径と内接円半径です。周囲の些細な上限は次のとおりです。$$P < 2\pi R$$ここで、後者は外接円の長さです。しかし、今では単純なAM-GMで問題が解決します。

$$Pr < 2\pi Rr < \pi(r^2+R^2)$$