表示中 $K(\sqrt \alpha)/F$ ガロアは $\sigma(\alpha)/\alpha$ は単位と正方形です。
私は解決の助けが欲しいのは次の問題です：
と仮定する $K/F$ は有限ガロア拡大であり、 $\text{char} F \neq 2$。しましょう$G:= \text{Gal}(K/F)$ そのガロア群になり、 $\alpha \in K^\times$。それを示す$K(\sqrt{\alpha})/F$ ガロア拡大であるのは、 $\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha} \in K^{\times 2}$ すべてのために $\sigma \in G$、 どこ $K^{\times 2} := \{x^2 \mid x \in K^\times\}$。
私は逆含意の解決策の一部を持っていますが、仮説をどこで使用するかわからないため、その妥当性に自信がありません。
私の議論は次のようになります：if $\alpha$ は完璧な正方形です $K(\sqrt{\alpha}) = K$解決策は簡単です。仮定します$\alpha$完全な正方形ではありません。次に、の最小多項式$\sqrt \alpha$ 以上 $K$ です $x^2 - \alpha$。これの意味は$[K(\sqrt\alpha) : K] = 2$。タワー法により、$[K(\sqrt{\alpha}), F] = [K(\sqrt{\alpha}): K] [K : F] = 2 |G|$。与えられた$\sigma \in G$、私たちはそれをの自己同型に拡張することができます $K(\sqrt \alpha)$ シグマが送信するかどうかを選択することによって $\sqrt \alpha$ に $+\sqrt{\sigma(\alpha)}$ または $-\sqrt{\sigma(\alpha)}$（以下の編集を参照）。なので$\text{char} F \neq 2$、これはすべてに2つの選択肢を与えます $\sigma \in G$、したがって、私たちは持つことができます $2 |G|$このように構築された自己同型。なので$|\text{Gal}(K(\sqrt \alpha), F)|$ によって上に囲まれています $[K(\sqrt \alpha): F] = 2|G|$、可能なすべての自己同型を構築し、 $|\text{Gal}(K(\sqrt \alpha), F)| = [K(\sqrt \alpha): F]$、したがって、拡張子はガロアです。
私が知る限り、これは上の仮説を使用していません $\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}$、だから私は懐疑的です。
証明の両方向の助けをいただければ幸いです。
編集：ΜάρκοςΚαραμέρηςからのコメントに従って、 $\sigma(\alpha) = \alpha . k^2$、 $\sigma(\sqrt(\alpha)) = \pm k \sqrt \alpha$、一部の固定 $k \in K^\times$。これにより、$\sigma \in \text{Gal}(K/F)$ いくつかのペアに $\sigma_+, \sigma_- \in K(\sqrt \alpha)$、 どこ $\sigma_\pm (\sqrt(\alpha)) = \pm k \sqrt \alpha$。これで逆の意味が完成します。
回答
コメントで述べたように、問題は一般的に $\sqrt{\sigma(a)}$ ないかもしれません $K(\sqrt{a})$。次の場合に注意してください$E$ のガロア閉鎖です $|K(\sqrt{a}):F|$ その後 $\sqrt{\sigma(a)}\in E$ そう $|K(\sqrt{a}):F|$ ガロアは $E=K(\sqrt{a}) \iff \sqrt{\sigma(a)}\in K(\sqrt{a}), \forall\sigma\in G$
仮定します $a$正方形ではありません。
それを示す必要があるだけです$\sqrt{\sigma(a)}\in K(\sqrt{a}) \iff \sqrt{\sigma(a)}=k\sqrt{a},k\in K$。一方向は即時です：$\sigma(a)=k^2a\implies \sqrt{\sigma(a)}=k\sqrt{a}\in K(\sqrt{a})$。
他の方向の場合：$\sqrt{\sigma(a)}\in K(\sqrt{a}) \implies \sqrt{\sigma(a)}=k_1+k_2\sqrt{a}$ と $k_{1,2}\in K(a) \implies \sigma(a)={k_1}^2+a{k_2}^2+2k_1k_2\sqrt{a}$。以来$\sqrt{a}\not\in K(a)$ 私たちは持っている必要があります $k_1=0$ または $k_2=0$、後者は $\sqrt{\sigma(a)}\in K \implies\sqrt{a}\in K$矛盾を生む。したがって、私たちは持っている必要があります$k_1=0$ そして $\sigma(a)={k_2}^2a$ と $k_2\in K$。
質問は実際には次の設定にまで及びます。 $F$ グループが含まれています $\mu_n$ の $n$-のルーツ $1$、char$F$ 分割しない $n$、 $K/F$ グループのガロアです $G$; その後、$a\in K^\times$、 $L:=K(\sqrt [n]a)$ ガロアは終わった $F$ iff $s(a)/a \in $ すべてのために $s\in G$。
証明：明確にするために、（あいまいな）表記を思い出してください$\sqrt [n]a$任意に選択されたという意味です $n$-のルート $a$ の分離可能な閉包で $F$。さらに、拡張子$L/K$ クラスのみに依存 $[a]$ の $a$ モッド ${K^\times}^n$、書くと便利です $L=K(\sqrt [n]{[a]})$。この新しい表記法の利点は、$K(\sqrt [n]{[a]})=K(\sqrt [n]{[b]})$ iff $[a]=[b]$ に ${K^\times}/{K^\times}^n$。
の分離可能性 $L/F$ charに関する仮説によって保証されている$F$、正常性のみを示す必要があります。どれか$s\in G$ に拡張することができます $F$-準同型 $\bar s$ （「埋め込み」）の $L$分離可能な閉包に。の正常性$L/F$ その場合、の安定性と同等です $L$ すべての下で $\bar s$。定義により、$(\bar s(\sqrt [n]a))^n=\bar s(a)=s(a)$、したがって、上記の予備的見解は、正常性を求めることは同等であることを示しています $[s(a)]=[a]$、 言い換えると $s(a)/a\in {K^\times}^n$ すべてのために $s\in G$。ずっと、関連するフィールドの乗法構造のみを使用し、それらの加法構造は使用しなかったことに注意してください。このアプローチでは、グループを明示的に記述することもできます（ただし、コホモロジーツールが必要です）。$\bar G=Gal(L/K)$ から始まる $G$。たとえば、$n=2$ そして $G=C_2 \times C_2$、次の基準を導き出すことができます $\bar G$ することが $C_2\times C_2 \times C_2$、または $D_4$、または $H_4$。