評価中 $\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx$

Question

私が働いたこの答えで私はとても楽しかったです$$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^4+x^3+x^2+x+1}}\,dx=\frac4{\sqrt{4\varphi+3}}F\left(\frac{3\pi}{10},m=8\varphi-12\right)$$ しかし、分母多項式の最大の指数がそうでない場合はどうなりますか $4$しかし、他の整数？言い換えれば、一般的な閉じた形または単一のシリーズ式がありますか $$\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx\ ?$$ ために $n=5$ 答えは上記のとおりです $n=4$ $$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^3+x^2+x+1}}\,dx=2^{-1/4}F\left(\cos^{-1}\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2},\frac12+\frac1{2\sqrt2}\right)$$ の積分 $n=1,2,3$発散。の積分を評価する$n\ge6$ただし、シリーズでも実行不可能のようです。ここでのJackd'Aurizioの回答のガンマ積の合計は非常に魅力的に見えますが、それは$n=5$ –その場合にのみ、積分が $[0,\infty]$ 積分の2倍です $[0,1]$、その時点でベータ関数を導入します。ジャックの答えの他の結果は二重和であり、これは他の人に一般化することができます$n$ ただし、あまりエレガントではありません（一部は二重和であり、一部はその合計の1つの境界が床関数を使用しているため）。

タスクを解決するアプローチが同じ被積分関数に対して他の境界を持つ積分も与える場合（例： $[0,1]$）、それはありがたいです。

Answer 1

「シングルシリーズ式」を提供します。うまくいけば、誰かがワシの目でそれが超幾何学的な用語で何であるかを見つけることができ、それによって閉じた形を実現することができます。

ために $x\in[0,\,1]$、適用 $x=\sin^{2/n}t$; ために$x\ge1$、適用 $x=\csc^{2/n}t$。階乗冪記号に関して、積分は$$\begin{align}&\frac2n\int_0^{\pi/2}(\sin^{2/n-1}t+\sin^{-3/n}t)\sqrt{1-\sin^{2/n}t}dt\\&=\frac2n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\int_0^{\pi/2}(\sin^{2(k+1)/n-1}t+\sin^{2(k-3/2)/n}t)dt\\&=\frac1n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}(\operatorname{B}(\tfrac{k+1}{n},\,\tfrac12)+\operatorname{B}(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12,\,\tfrac12))\\&=\frac{\sqrt{\pi}}{n}\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\left(\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}+\tfrac12\right)}+\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+1\right)}\right).\end{align}$$

Answer 2

しましょう $n\ge5$。 $$J_n=\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx=\int_0^1\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx+\int_1^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ 次に、 $x\mapsto 1/x$ 2番目の積分で、2つを足し合わせます。 $$J_n=\int_0^1\left(1+x^{(n-5)/2}\right)\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ 使用する $$(1-q)^{-\alpha}=\,_1F_0(\alpha;;q),$$ 我々は持っています $$\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}x^k,$$ どこ $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{k}[n|r]\frac{(\tfrac12)_{r/n}(-\tfrac12)_{k-r}}{(r/n)!(k-r)!},$$ と $[a|b]$ アイバーソンの記法 $b/a\in\Bbb Z$： $$[a|b]=\left\lfloor \exp\left(a\left\lfloor \frac{b}{a}\right\rfloor-b\right)\right\rfloor.$$ したがって、 $$J_n=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\int_0^1(1+x^{(n-5)/2})x^kdx=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\left(\frac1{k+1}+\frac{2}{2k+n-3}\right).$$ さらに、 $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{\lfloor k/n \rfloor}\frac{(\tfrac12)_{r}(-\tfrac12)_{k-nr}}{r!(k-nr)!}.$$ 一般的な閉じた形があるかどうかは疑わしいです。