評価する $\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$

Question

$$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$$

「継続性のアイデア」を使用せずに、この制限を評価する必要があります。だから私は代用できないと思います$-2$関数に入れて限界を見つけてください、私はできますか？では、どうすればこの制限を見つけることができますか？

Answer 1

私たちはそれを推測することができます $\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=59$ これを証明するために、定義を使用してそれを示すことができます $\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta>0 \:\forall x\: |x-(-2)|=|x+2|<\delta$ 我々は持っています

$$|3x^4+2x^2-x+1-59|=|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \varepsilon$$

次に、wlogを想定します $|x+2|<1$ あれは $-3<x<-1$ その後

$$|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \delta|3x^3-6x^2+14x-29| \le 206 \,\delta$$

以来 $f(x)=x^3-6x^2+14x-29$ 厳密に増加する負の値 $x\in[-3,-1]$ そして $|f(-3)|=206$、それからそれは仮定することで十分です

$$\delta \le \frac{\varepsilon}{206}$$

関連するも参照してください

• 「適切な」を見つける $\delta$ 制限が与えられた
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Answer 2

それ以来 $$lim_{x \to -2} 3x^{2}=3(-2)^{4},$$ $$\lim_{x\to -2}2x^{2}=2(-2)^{2},$$ $$\lim_{x\to -2}-x=-(-2)$$そして $$\lim_{x \to -2}1=1$$したがって、あなたはそれを結論付けることができます $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)$$存在し、また $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=3(-2)^{4}+2(-2)^{2}-(-2)+1=59.$$

プロパティの制限のみが必要であることに注意してください。