解決する $(x-a)^{\alpha +1} - \lambda*(b-x)^{\alpha + 1} = C(\frac{a+b}2 - x)^{\alpha}$ 以上 $\mathbb R$ [閉まっている]

Question

私は次の方程式を解くのに苦労しています。どんな助けでもいただければ幸いです。a、b、C、$\alpha$、$\lambda$ 実数である $C < 0$、 $0 < \alpha < 1$、 $\lambda > 1$。次に、方程式\ begin {equation}（xa）^ {\ alpha +1}-\ lambda *（bx）^ {\ alpha + 1} = C *（\ frac {a + b} {）の解を探します。 2} -x）^ {\ alpha}。\ end {equation}変数は$x$ 範囲内の実際のソリューションを探しています $0 \leq x \leq (a+b)/2$。

Answer 1

定義時に $y=[(a+b)/2-x]/\Delta$、 $\Delta=(b-a)/2>0$、 $k=C/\Delta<0$、いくつかの自由パラメーターを削除して、 $$(1-y)^{\alpha+1}-\lambda (1+y)^{\alpha+1}-k y^\alpha=0,\;\;0\leq y\leq 1.$$

一般向け $\alpha\in(0,1)$ 閉じた形の解はなく、間隔内に実際の解がまったくない可能性があります $[0,1]$。

特に、 $\alpha\rightarrow 1$、ソリューションは $y\rightarrow (1+k/2)\pm\sqrt{k}\sqrt{4+k}$、これは架空のものです $-4<k<0$。

もう一方の極端な場合、 $\alpha\rightarrow 0$、ソリューションは $y\rightarrow \frac{1-k-\lambda}{1+\lambda}$ これはマイナスです $\lambda>1-k$。

より一般的には、 $\alpha$ 十分な大きさの解決策はありません $\lambda$。

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更新： OPは、追加の制約を付けて質問を再投稿しました。$k=-2\lambda(\alpha+1)$、だから私たちは解決策を探します $$(1-y)^{\alpha + 1}-\lambda (y+1)^{\alpha + 1} + 2 \lambda (\alpha + 1) y^{\alpha} = 0.$$ にとって $\alpha\ll 1$ 解決策は $$y= \left(\frac{\lambda-1}{2 \lambda(\alpha+1)}\right)^{1/\alpha}.$$