確率変数の期待値の評価

Aug 16 2020

しましょう $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ ユニタリで線形独立なベクトルであり、 $X_1,...,X_n$ (特定の確率空間上の)独立確率変数 $X_i$ パラメータのベルヌーイ分布があります $p_i \in [0,1]$

a)しましょう $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$、の期待値を計算します $Z$、 どこ $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$$v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $

b)V =とします$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$、それを示す $v \in V$ 存在する $y \in V$ そのような $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ そして $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$、と $b_i \in \{0,1\}$。ヒント:a)を使用します。

この演習をオンラインで見つけましたが、ポイントb)を解決するのに問題があります。私はポイントa)を選択しました$( \mathbb{R}^n, B, P)$ 確率空間として、ここでBはボレルです $\sigma $-代数とPは、の積測度に等しい $X_i$分布。Zの期待値は\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}

ポイントa)の解決策が正しいかどうかを知り、ポイントb)についてアドバイスを受けたいと思います。

ありがとうございました

回答

AlexRavsky Aug 19 2020 at 21:19

演習の主な問題はポイントbだと思いますが、次のように証明できます。

a))しましょう $y=\sum x_i v_i$、 どこ $x_i=1$ 確率で $p_i$ そして $x_i=0$ 確率で $1- p_i$、独立して。

次に

$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$

そう $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$

b))選択 $p_i=a_i$ それぞれについて $i$、私たちはそれを取得します $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ これはポイントbを意味します。