カテゴリ内のコンパクトオブジェクトとコンパクトジェネレータ

Question

コンパクトオブジェクトの2つの定義を見つけました。

（ルーリー、ジェイコブ（2009）、高次トポス理論、p.392）$\mathcal{C}$フィルター付きコリミットを認めるカテゴリーであること。オブジェクト$C \in \mathcal{C}$コア表現可能なファンクターの場合、コンパクトであると言われます$$ \operatorname{Hom}_{e}(C, \bullet) $$ フィルター付きコリミットで通勤します。

（アーベル圏、ダニエル・ミュルフェット、定義18）$\mathcal{C}$ カテゴリになり、 $A$ のオブジェクト $\mathcal{C}$。私たちはそれを言います$A$あるコンパクト我々は射を持っている時はいつでもあれば（または、時には小）$u: A \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}$ から $A$ 空でない余積に、空でない有限サブセットがあります $J \subseteq I$ との因数分解 $u$ 次の形式の $$ A \longrightarrow \bigoplus_{j \in J} A_{j} \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}. $$

それらが同等であることを示す方法がわかりません。助けていただけませんか。

さらに、アーベル圏の生成器の定義があります。

（発電機と射影発電機のイナベリアのカテゴリー、チャールズ・パケット、p.1）$\mathcal{A}$アーベル圏になります。オブジェクト$M$ の $\mathcal{A}$ のジェネレータです $\mathcal{A}$ オブジェクトの場合 $X$ の $\mathcal{A}$、エピモルフィズムがあります $\bigoplus_{i\in I} M\to X$ どこ $I$ いくつかのインデックスセットです。

では、コンパクトジェネレーターはどうあるべきでしょうか？次の形式の因数分解があるようなジェネレーターですか？$$ \bigoplus_{i\in I} M \to \bigoplus_{i\in J} M \to X. $$ （すべての矢印が逆になっていますか??）

どうもありがとうございました！

Answer 1

それらは同等ではありません。たとえば、Lurie-のカテゴリのコンパクトオブジェクト$R$-モジュールは、有限表示可能なモジュールと同じです。（同じことが、ローヴェア理論の代数のすべてのカテゴリー、つまり、全称記号の公理の対象となる、演算が有限である代数理論にも当てはまります。）一方、マーフェット-のカテゴリーのコンパクトなオブジェクト$R$-モジュールは有限生成である必要はありません（ただし、 $R$ネーターです）。これについてはかなり長い議論がありました：「Sums-compact」オブジェクト=モジュールのカテゴリのfgオブジェクト？

コミュニティが異なれば、同じ用語の使い方も異なります。「コンパクト」という用語は、ある意味で示唆に富むものですが、最適化されているとは思いません。

Answer 2

このアイデアの輪についてのトリッキーなことの一部は、いくつかの定義が完全な一般性では同等ではないが、追加の仮説で同等になるということです。たとえば、コンパクトオブジェクトに関する基本的な結果は、モジュールカテゴリの次の特性評価です。これは、とりわけ森田同値の特性評価を提供します。

定理（ガブリエル）：完全なアーベル圏$C$ カテゴリに相当します $\text{Mod}(R)$ リング上のモジュールの $R$ コンパクトな射影ジェネレーターを認める場合 $P$ そのような $\text{End}(P) \cong R$。

この定理のステートメントの「コンパクト」と「ジェネレーター」はどちらも、個別にあいまいです。「コンパクト」は、Lurie-compactまたはMurfet-compactのいずれかを意味する可能性があり、「generator」は、約7の異なる意味を持つことができ、そのうちの約3つが一般的に使用されています（？）。議論については、Mike Shulmanのジェネレーターとcolimitクロージャー（5つの可能な定義について説明しています）および私のブログ投稿Generators（6つの可能な定義について説明しています。そのうち4つはMikeのものと重複しています）を参照してください。

それにもかかわらず、ガブリエルの定理のステートメントにおける「コンパクト射影」と「コンパクト射影ジェネレーター」の意味は明白です。

• 共完アーベル圏では、Lurie-compactnessまたはMurfet-compactnessのいずれかを使用する「コンパクト射影」は、次の条件と同等です。 $\text{Hom}(P, -) : C \to \text{Ab}$すべて（小）colimitsで通勤（この条件はまたあるものとして知られている小さな、私のブログの記事を参照タイニーオブジェクト議論のために）、および
• ココンプリートアーベル圏のコンパクトな射影的対象の場合、私が認識している「ジェネレータ」の定義のほぼすべてが崩壊し、同等になります。私は2つに名前を付けることに制限します：最も弱いのは、すべての非ゼロオブジェクトがからの非ゼロマップを許可することです$P$ （私は「弱いジェネレーター」と呼んでいます。この名前が標準であるかどうかは忘れます）、そして最も強力なのは、すべてのオブジェクトが、 $P$ （私はこれを「提示ジェネレーター」と呼んでいます。これは標準ではありません。アーベル圏では余等化子を余核に置き換えることができますが、この定義は群環や環などの代数的圏にうまく一般化されます）。

厩舎には追加のニュアンスがあります $\infty$-Lurieが機能するようなカテゴリ設定では、射影変換が低下する可能性があるようですが、正確なステートメントが何であるかはわかりません。例：安定したものがあると思います$\infty$-加群の圏を特徴付けるガブリエルの定理の加群の類似 $E_1$ 環スペクトルと私はアナログがコンパクトなジェネレーターを含むと信じています。

とにかく、私はその価値のために、コンパクト性の「デフォルト」の意味としてルリーコンパクト性を提唱します。Murfet-コンパクトネスはアーベル設定に非常に固有ですが、Lurie-コンパクトネスは多くの設定で優れています。たとえば、ローヴェア理論のモデル（群環、環など）のカテゴリでは、オブジェクトは、有限に提示されている場合はルリーコンパクトです。すでにこれは、有限に提示されているモジュールが森田不変であるという完全に明白ではない事実を意味します。

Answer 3

トッドの答えに少し文脈を加えるために、この混乱の理由は、位相空間に対する「コンパクト」の元々の使用がさまざまな方法で一般化できるためだと思います。

まず、半順序集合では、コンパクトの2つの定義が一致します。場合$C$ ルリーコンパクト、そして余積 $\sum_i A_i$ の有限サブファミリーの余積のフィルター付き共極限です。 $A_i$、したがって、この仮定は、 $C$ に $\sum_i A_i$いくつかのそのような有限の余積による要因。（実際、この方向では、カテゴリが半順序集合である必要はありません。）他の方向では、$C$ はMurfet-compactである場合、ポセット内のすべてのcolimitは同等に余積であるため、 $C$ 有限のサブコリミットを介してフィルター処理されたコリミットファクターに、単一のオブジェクトを介してファクタリングするフィルター処理によって。

第二に、位相空間 $X$ 半順序集合の最上位要素である場合に限り、従来の意味でコンパクトです $\mathcal{O}(X)$オープンサブセットの数は、これらのカテゴリの意味のいずれかでコンパクトです。したがって、違いは、この「コンパクト」の意味をさまざまな方法で非ポーズに一般化することに起因します。（残念ながら、コンパクトな位相空間は、一般に、位相空間のカテゴリーでは、Lurie-compactでもMurfet-compactでもありません！）