ケーラー多様体の複雑な法線座標

Question

しましょう $(M, g, J, \omega)$ケーラー多様体である。あれは、$(M, J)$ 複素多様体であり、 $g$ 上のエルミート計量です $M$ そして $$\omega (X, Y) = g(JX, Y)$$ 閉じた2つの形式です。

リーマン多様体として $(M, g)$、それぞれについて $x\in M$、それぞれの周りの測地線法線座標を見つけることができます $x$。ケーラー計量の場合、実際にはさらに多くのものがあります。

命題:(ケーラー多様体の複雑な法線座標）それぞれについて$x\in M$、周りに局所的な正則座標があります $x$ メトリックが $g = g_{i\bar j}$ 満たす $$g_{i\bar j}(x) = \delta_{ij}, \ \ d g_{i\bar j} (x) = 0, \ \ \ \frac{\partial^2 g_{i\bar j}}{\partial z_k \partial z_l} (x) = 0.$$

最初の2つの条件は、リーマン幾何学の測地線法線座標の条件と似ていますが、最後の条件に対応する類似物はありません。また、ケーラー多様体でも、地理的法線座標は正則ではない場合があります。

私はこの命題の証拠を探しています。

Answer 1

結果はローカルであり、 $p =0 \in U$、 どこ $U \subset \mathbb C^n$オープンセットです。複雑な線形変換により、次のように仮定することもできます。$h_{i\bar j}(0) = \delta_{ij}$。正則マッピングを検討してください$\phi : B_\epsilon \to U$、 によって与えられた $$z_i=\phi (w)_i = w_i + A^i_{mn} w_mw_n + B^i_{pqr} w_pw_qw_r,$$

ここに $A^i_{mn}, B^i_{pqr}$は選択する定数であり、繰り返されるインデックスは合計を意味します。また、$A^i_{mn}, B^i_{pqr}$低いインデックスに関して完全に対称です。以来$d\phi_0 = Id$、 $\phi$はその画像への双正則写像です（必要に応じてより小さなセットに制限します）。しましょう$g = \phi^* h$プルバックメトリックになります。次に、新しい座標を使用します$(w_1, \cdots, w_n)$、

\begin{align}\tag{1} g_{\alpha \bar \beta} &= \frac{\partial z_i}{\partial w^\alpha}\overline{\frac{\partial z_j}{\partial w^\beta}}h_{i\bar j} \end{align} そして $$\tag{2} \frac{\partial z_i}{\partial w_\alpha} = \delta_{i\alpha} + 2A^i_{\alpha m} w_m + 3B^i_{\alpha pq } w_pw_q$$ 次に、 \begin{align}g_{\alpha\bar\beta} &= h_{\alpha\bar\beta} +2A^i_{\alpha m} h_{i\bar\beta}w_n + 2\overline{A^j_{\beta n}} h_{\alpha \bar j} \bar w_n \\ &\ \ \ + 3B^i_{\alpha pq } w_pw_q h_{i\bar\beta} + 3\overline{B^j_{\beta rs} } \bar w_r \bar w_s h_{\alpha \bar j} + 4 A^i_{\alpha m} \overline{A^j_{\beta n} } h_{i\bar j}w_m \bar w_n\\ &\ \ \ + O(|w|^3). \end{align} ここから、それは明らかです $g_{\alpha\bar\beta}(0) = \delta_{\alpha\beta}$。また、\begin{align} \partial_\gamma g_{\alpha\bar\beta} (0) &= \partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta} (0) + 2A^\beta_{\alpha\gamma}, \\ \bar\partial_\gamma g_{\alpha\bar\beta} (0) &= \bar\partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta} (0) + 2\overline{A^\alpha_{\beta\gamma}}, \\ \partial_\eta \partial _\gamma g_{\alpha\bar\beta} (0) &= \partial_\eta \partial _\gamma h_{\alpha\bar\beta} (0) + 6B^\beta_{\alpha\gamma\eta}. \end{align}

今私たちは選択します $A^\beta_{\alpha\gamma} = -\frac 12 \partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta}$。まず第一に、$A$ そのように選択されたのは、下のインデックスで本当に対称的です。 $$\tag{3}\partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta} =\partial_\alpha h_{\gamma \bar\beta}$$ いつ $h$はケーラー計量です（ここを参照）。次に、$h$ エルミートです、 $$\bar \partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta} (0) = \overline{\partial_\gamma \overline{h_{\alpha\bar\beta}(0)}} = \overline{\partial_\gamma h_{\beta\bar\alpha}(0)} = -\frac{1}{2} \overline{A^\alpha_{\beta\gamma}}, $$ 最後の等式では、次の定義を使用しました $A$。したがって、$dg_{i\bar j}(0) = 0$。

最後に、 $B^\beta_{\alpha\gamma\delta} = - \partial_\eta \partial _\gamma h_{\alpha\bar\eta} (0)$。再び（3）によって、$\partial_\eta \partial _\gamma h_{\alpha\bar\eta}$ で対称です $\alpha, \gamma, \eta$。したがって、$B$ 再び明確に定義され、これで証明が終了します。

で、この本、彼らは次の命題を述べます：

命題1.6 :(ケーラーの場合の通常の座標）$M$実際の解析的ケーラー計量を持つケーラー多様体である。与えられた$x\in M$、ローカル複素座標が存在します $(z_1, \cdots, z_n)$ 次のような一意のモジュロユニタリ線形変換 $g_{i\bar j}(x) = \delta_{ij}$、 $dg_{i\bar j}(x)= 0$ そして $$ \frac{\partial ^l g_{i\bar j}}{\partial z_{i_1} \cdots \partial z_{i_k}} (x) = 0$$ すべてのために $l\ge 0$ そして $i_1 + \cdots + i_k = l$、これはその共役にも当てはまります。

彼らはまた、エレガントな証拠があると主張する参考文献、p.286を提案しています。