計算方法 $\int_0^\infty \frac{\tanh\left(\pi x\right)}{x\left(1+x^2\right)} \, \mathrm{d}x$？
次の積分を計算するにはどうすればよいですか？
$$\int_0^\infty \frac{\tanh\left(\pi x\right)}{x\left(1+x^2\right)} \, \mathrm{d}x$$
私はいくつかの基本的な置換を試みましたが、それらはそれをより複雑にするだけです。WolframAlphaは答えは$2$ しかし、私はそこに着く方法がわかりません。
回答
しましょう $N$ 正の整数であり、の周回積分を考慮します
$$ f(z) = \frac{\tanh(\pi z)}{z(z^2+1)} $$
角のある長方形の境界に沿って $\pm N$ そして $\pm N+ iN$。それに注意してください$\tanh(\pi z)$ に単純なゼロがあります $ki$ とシンプルなポール $z_k := \bigl(k+\frac{1}{2}\bigr)i$ それぞれについて $ k \in \mathbb{Z}$、 関数 $f$ でのみ単純な極を持っています $z_k$の。（の極$0$ そして $\pm i$ のゼロによってキャンセルされます $f$。）したがって、留数定理により、
\begin{align*} \int_{-N}^{N} f(x) \, \mathrm{d}x &= 2\pi i \sum_{k=0}^{N-1} \mathop{\mathrm{Res}}_{z=z_k} f(z) - \int_{\Gamma_N} f(z) \, \mathrm{d}z, \end{align*}
どこ $\Gamma_N$ からの区分的線形パスです $N$ に $N+iN$ に $-N+iN$ に $-N$。今、その積分を示すのは難しいことではありません$f$ に沿って $\Gamma_N$ として消える $N\to\infty$、など、 $N\to\infty$ 収量
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x &= 2\pi i \sum_{k=0}^{\infty} \mathop{\mathrm{Res}}_{z=z_k} f(z) \\ &= i \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{z_k (z_k + i)(z_k - i)} \\ &= i \sum_{k=0}^{\infty} \left( - \frac{1}{z_{k-1}} + \frac{2}{z_k} - \frac{1}{z_{k+1}} \right) \\ &= \frac{i}{z_0} - \frac{i}{z_{-1}} \\ &= 4. \end{align*}
したがって、答えは $\frac{1}{2} \cdot 4 = 2$。
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int_{0}^{\infty}{\tanh\pars{\pi x} \over x\pars{1 + x^{2}}}\,\dd x} \\ = &\ \int_{0}^{\infty}{1 \over x\pars{1 + x^{2}}}\ \overbrace{\bracks{% {8x \over \pi}\sum_{n = 0}^{\infty} {1 \over \pars{x^{2} + 1}\bracks{4x^{2} + \pars{2n + 1}^{2}}}}} ^{\ds{\tanh\pars{\pi x}}}\dd x \\[5mm] = &\ {8 \over \pi}\sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}{\dd x \over \pars{x^{2} + 1}\bracks{4x^{2} + \pars{2n + 1}^{2}}} \\[2mm] &\ \pars{\substack{\ds{{\large x}\mbox{-integration is straightforward with}}\\[1mm] \ds{Partial\ Fraction\ Decomposition}}} \\[2mm] = &\ \sum_{n = 0}^{\infty}{1 \over n^{2} + 2n + 3/4} = \sum_{n = 0}^{\infty} {1 \over \pars{n + 3/2}\pars{n + 1/2}} \\[5mm] = &\ \Psi\pars{3 \over 2} - \Psi\pars{1 \over 2} \label{1}\tag{1} \\[5mm] = &\ \bracks{\Psi\pars{1 \over 2} + {1 \over 1/2}} - \Psi\pars{1 \over 2} = \bbx{2}\label{2}\tag{2} \\ & \end{align}
（\ ref {1}）： $\ds{\Psi:\ Digamma\ Function}$。
（\ ref {2}）： $\ds{\Psi}$-$\ds{Recurrence}$。
別の考えは、次の置換を試すことです。 $$I(t)=\int_0^\infty\frac{\tanh(tx)}{x(x^2+1)}dx$$ $u=-x\Rightarrow du=-dx$ など： $$I(t)=\int_0^{-\infty}\frac{\tanh(-tu)}{-u(u^2+1)}(-du)=\int_{-\infty}^0\frac{\tanh(tx)}{x(x^2+1)}dx$$ つまり、次のように書くことができます。 $$I(t)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\tanh(tx)}{x(x^2+1)}dx$$ $$I'(t)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\tanh(tx)}{x^2+1}$$ $$I''(t)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{x\tanh(tx)}{x^2+1}dx$$ $$I'''(t)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2\tanh(tx)}{x^2+1}=\frac12\int_{-\infty}^\infty\tanh(tx)dx-\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\tanh(tx)}{x^2+1}dx$$
$$I'''(t)=-I'(t)$$ $$I'''+I'=0$$ 今、私たちはこの頌歌を解決する必要があります： $$I=Ae^{\lambda t},I'=A\lambda e^{\lambda t},I'''=A\lambda^3e^{\lambda t}$$ $$A\lambda e^{\lambda t}+A\lambda^3e^{\lambda t}=0$$ $$\lambda+\lambda^3=0,\,\lambda(\lambda^2+1)=0$$ $$\lambda=0,\pm i$$ $$I=A+Be^{it}+Ce^{-it}\Rightarrow I=c_1+c_2\cos(t)+c_3\sin(t)$$ここで、これらの定数が何であるかを理解する必要があります。この部分は難しいことが証明されていますが、それは明らかなようです$I'(t)=0$それは奇妙な機能なのでどこでも。私達はまたそれを知っています$I(0)=0$ そしてそれ $I''(t)$ 以外の場所で発散するだろう $I''(0)=0$。これはうまく適合していないようですので、何かが間違っている可能性がありますが、私たちは言うことができます：$$I'(t)=0\Rightarrow I(t)=C$$ だが $I(0)=0$ など $I(t)=0$、これは明らかに真実ではありません。私はこれがなぜ間違っているのかを解明するのにしばらく時間を費やしました、そしてそれはそれが理由であると信じています$I''$ 収束していません。
これは、ここでの主な問題の1つが次のとおりであることを意味します。 $$\lim_{t\to 0}\int_{-\infty}^\infty\frac{x\tanh(tx)}{x^2+1}dx$$