機能学演習1aを生成するための解決策。

Aug 16 2020

質問は:

  1. 次の各シーケンスの通常のべき級数母関数を、単純な閉じた形式で見つけます。いずれの場合も、シーケンスはすべてに対して定義されています$n\geq0$。(a)$a_n=n$

これが機能です $A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$、私は次のように書き直します: $A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

それぞれの用語は等比数列なので、私はこれを次のように書きました。

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

したがって、私の答えは $A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$。しかし、本の裏にある答えの鍵は、答えは「$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$"。私の母関数は回答キーのRHSのように見えますが、LHSの意味がわかりません。ここで不足しているものはありますか?

回答

2 FormulaWriter Aug 16 2020 at 17:15

ザ・ $LHS$あなたが見つけたのと同じ母関数を取得するための単なる別の方法です。それは言う:の派生物を取る$1/(1-x)$ 次に乗算します $x$