この家族がで同程度連続であることを示す $0$
しましょう $E$ ノルムベクトル空間であり、 $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ コンパクト用 $K\subseteq E$ そして $\sigma_c(E',E)$ に関する初期トポロジを示します $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$、すなわち上の部分空間トポロジー $E'$ のコンパクト収束のトポロジーから継承 $C(K)$。
しましょう $\mathcal C\subseteq C(E')$ 均一に $\sigma_c(E',E)$-同程度連続。
なぜ私たちはそれを結論付けることができます $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$
おそらく、望ましい主張を取得するのは簡単ですが、設定がかなり複雑なため、どのように取得するのかわかりません。
$(1)$ 明らかにある種の同程度連続である $0$。それが適切かどうかはわかりませんが、バナッハ・アラオグルの定理による$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ です $\sigma_c(E',E)$-すべてのコンパクト $\delta>0$。
回答
の均一な同程度連続性の定義を思い出してください$\mathcal{C}$ マップのセットとして $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$：
すべての近所のために $V \subseteq \Bbb{R}$ の $O$ 近所があります $U$ の $0$ に $(E',\sigma_c(E',E))$ そのような $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$
今のために $\psi = 0$ そして $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$、私たちは近所を取得します $U$ の $0$ そのような $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ の近所であること $0$ 半径の原点の周りに有限個の開いた球の交点が含まれています $\delta_1, \ldots, \delta_k$ コンパクトセットの半ノルムに関して $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$： $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ セット $K_k$ いくつかによって標準で制限されています $M_k > 0$ だから私たちが設定した場合 $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ その後、任意の $\varphi \in E'$ 我々は持っています $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ すべてのために $k=1, \ldots, n$ そう $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$
私が間違っていなければ、これはより一般的な結果のインスタンスであるはずです。
- $(X,\tau)$ 位相空間であること。
- $Y$ 規範になる $\mathbb R$-ベクトル空間;
- $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
- $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ ために $\tau$-コンパクト $K\subseteq X$ そして $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
- $(Z,d)$ 距離空間である;
- $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ 上の局所凸トポロジーに関して連続である $C(X,\tau;Y)$ によって生成されます $P$ とメトリック $d$ オン $Z$。
そうすれば簡単にわかります $f$ 規範に関して連続的です $\overline p$ オン $C(X,\tau;Y)$ によって生成されます $P$ とメトリック $d$ オン $Z$：しましょう $f\in C(X,\tau;Y)$ そして $\varepsilon>0$。の連続性の仮定によって$F$、あります $P$-ご近所 $N$ の $f$ と $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ しましょう $U_p$ で開いている単位球を示します $$C(X,\tau;Y)$$ に関して $p\in P$。我々は書ける$N=f+N_0$ いくつかのための $P$-ご近所 $N_0$ の $0$。また、$k\in\mathbb N_0$、 $\tau$-コンパクト $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ そして $\delta_0>0$ と $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ さあ、 $\delta\in(0,1)$ と $\delta\le\delta_0$。次に、$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ それゆえ $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ すなわち $f$ で継続しています $f$ 上の局所凸トポロジーに関して $C(X,\tau;Y)$ によって生成されます $P$ とメトリック $d$ オン $Z$。
あるいは、結果の直後に、によって生成されたトポロジに注意する必要があります。 $P$ によって生成されたトポロジよりも粗い $\overline p$、ここで説明するように。
さて、 $X$ は標準です $\mathbb R$-ベクトル空間と $\tau$ によって生成されたトポロジです $\left\|\;\dot\;\right\|_X$、その後 $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ したがって、によって生成されたトポロジ $\left\|\;\cdot\;\right\|$ 均一な演算子トポロジ（つまり、によって生成されたトポロジ）よりも粗い $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$）。だから、私たちはすぐにそれを取得します$F$ によって生成されたトポロジに関して連続的です $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ とメトリック $d$ オン $Z$ 同じように。