このシリーズの合計を正しく計算するにはどうすればよいですか？

Question

私はすでにこのナンバーズシリーズを知っています $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+(-2)^{n}} \frac{(-3)^{n}}{n}$ 収束します。

SumConvergence[((-3)^n/(3^n + (-2)^n) 1/n), n](*True*)

しかし、次のコードはその制限値を見つけることができません。このシリーズの制限値を正しく見つける方法を知りたいですか？

Limit[Sum[(1/(3^n + (-2)^n))*((-3)^n/n), {n, 1, m}], m -> Infinity]
Needs["NumericalCalculus`"]
NLimit[Sum[(1/(3^n + (-2)^n))*((-3)^n/n), {n, 1, m}], m -> Infinity]

Answer 1

から

Sum[(-1)^n/((1 + (-q)^n) n), {n, 1, Infinity}]

等比数列を介して

-Sum[(-1)^l Log[1 + (-q)^l], {l, 0, Infinity}]

そしてそこから

Log[Product[(1 - q^(2 l + 1))/(1 + q^(2 l)), {l, 0, Infinity}]]

Mathematicaが計算するもの

Log[QPochhammer[q, q^2]/QPochhammer[-1, q^2]]

次に、を設定しq = 2/3ます。

アンドレアス

Answer 2

製品は、楕円形のシータ関数で次のように表すこともできます。

Log[q/16]/8 + 1/2 Log[EllipticTheta[4, 0, q]/EllipticTheta[2, 0, q]]

これは閉じた式としてカウントされますか？

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最も簡単な方法は、シータ関数の積表現を使用することです（https://dlmf.nist.gov/20.5）：

EllipticTheta[4, 0, q] = Product[(1 - q^(2 k - 1))^2 (1 - q^(2 k)), {k, 1, Infinity}]

そして

EllipticTheta[2, 0, q] = 2 q^(1/4) Product[(1 + q^(2 k))^2 (1 - q^(2 k)), {k, 1, 
Infinity}].

それらを入力するだけです

Log[q/16]/8 + 1/2 Log[EllipticTheta[4, 0, q]/EllipticTheta[2, 0, q]]

そして、あなたはそれを持っています。