コンパクト複素多様体上のすべての正則関数は局所定数ですか？
Aug 19 2020
私たちはそれを知っています $X$ はコンパクトに接続された複素多様体であり、すべての正則関数は $X$は一定です。さて、$X$必ずしも連結である必要はありません。連結成分を選択できます。連結成分は閉じたサブセットであり、コンパクトセットのすべての閉じたサブセットもコンパクトであることがわかっています。したがって、連結成分もコンパクトであるため、連結成分のすべての正則関数は一定であると推定できます。次に、すべての正則関数が$X$ 局所定数です。
これは正しくないかもしれませんが、上記の証明で問題がどこにあるのかわかりません。
回答
4 ElliotG Aug 18 2020 at 22:17
これは正しいです。しかし、人々が「コンパクトマニホールド」と言うとき、それらはほとんどの場合、接続されたコンパクトマニホールドを意味します。むしろ、接続されていないコンパクト多様体を扱うことによって得られるものは通常何もありません。接続されている各コンポーネントを見るだけでもよいからです。
（非コンパクト多様体の場合、次のようなものがあるため、これは潜在的にトリッキーです。 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ これは2つの多様体の非交和ですが、それらは一種の「感動的」であり、ある意味で本質的に $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$、 例えば。）