区間の端点でのSturm-Liouville固有関数展開の収束。
しましょう $\{\phi_n\}_{n=0}^\infty$ 通常のSturm-Liouville問題の固有関数である \begin{align} -(p\,\phi')' + q\, \phi = \lambda \, r \, \phi \quad &\textrm{for } x \in (x_1,x_2)\\ - a_i \, \phi(x_i) + b_i\, (p\,\phi')(x_i) = 0 \quad &\textrm{for } i=1,2. \end{align} と仮定する $p$ そして $r$正であり、2回連続的に微分可能です。と仮定する$q$継続的です。係数$a_i,b_i$ にとって $i=1,2$ 本物です。
しましょう $F(x)$ 区間で2回連続微分可能関数である $[x_1,x_2]$。上記の条件下で、\ begin {equation} \ textrm {（I）} \ quad \ quad F（x）= \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left（\ int_ {x_1} ^ {x_2 } F（z）\、\ phi_n（z）\、r（z）\、\ textrm {dz} \ right）\、\ phi_n（x）\ end {equation}、開区間での点ごとの等式 $(x_1,x_2)$。
私の質問は：エンドポイントはどのような値になりますか $(x=x_i)$シリーズ \ begin {equation} \ textrm {（II）} \ quad \ quad \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left（\ int_ {x_1} ^ {x_2} F（z）\、\ phi_n（z） \、r（z）\、\ textrm {dz} \ right）\、\ phi_n（x_i）\ end {equation} は？に収束します。一般的な閉じた形の表現はありますか？
場合 $F(x)$ 固有関数と同じ境界条件を満たす $\phi_n$、そして私は級数（I）が収束することを知っています $F(x)$ 閉区間で均一に $[x_1,x_2]$ （したがって、閉区間で点ごとの平等が得られます）。
一方、固有関数が $\phi_n$ より単純な境界条件を満たす $\phi_n(x_i)=0$次に、エンドポイント系列（II）はゼロに収束する必要があります。その場合、級数（I）は、終点で有限ジャンプの不連続性を持つ必要があります。$\lim_{x\rightarrow x_2}F(x)$ に $0$ で $x=x_2$。ただし、上記のより一般的な境界条件に興味があります。
フーリエ展開の場合のエンドポイント系列の閉形式の式を知っています。通常のSturm-Liouville展開に類似の式が存在するかどうか疑問に思います。
どんな参考文献でも大歓迎です。
編集：関連する質問をここにリンクしました。Sturm-Liouvilleシリーズに類似した結果はありますか？に点ごとの収束が得られますか$F(x)$ 閉じた間隔で $[x_1,x_2]$ いつでも $b_1,b_2 \neq 0$？
編集＃2：数学の百科事典にシュトゥルム・リウヴィルの記事はで、それを述べて$b_1,b_2 \neq 0$、展開（I）は、任意のコサイン級数と同じ条件下で収束します。 $F\in L^1$。おそらく、前の編集から、これは、次の点ごとの収束が得られることを意味します。$F$ 間隔全体で $F$ 微分可能であり、 $b_1,b_2 \neq 0$。残念ながら、私は百科事典に引用されている記事にアクセスできません。
回答
スペクトル理論入門のセクション9 ： LevitanとSargsjanによる自己隣接する通常の微分演算子で、著者はSturm-Liouville問題について\begin{align} -y'' + q\,y = \lambda \,y\\ y'(0) - h\, y(0) = 0 \\ y'(\pi) + H\, y(\pi) = 0 \end{align} オン $[0,\pi]$、もし $h,H \neq \infty$、次に、Sturm-Liouville固有関数展開は、閉区間の任意の点で収束または発散します。$[0,\pi]$ 対応するコサイン級数展開の動作に応じて。
のいずれか $h$ または $H$ は無限大です。代わりに、 $sin([n+1/2]x)$拡張。それ以外の場合、両方の場合$h=\infty, H=\infty$、次に、正弦級数展開と比較する必要があります。